Aufgabe #113 (GEO),(PolM) < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 12:28 Mi 28.12.2005 | | Autor: | Hanno |
| Aufgabe | | Es sei ein Dreieck ABC gegeben. Die Fußpunkte der Lote von B und C auf die Winkelhalbierende des Winkels bei $A$ seien $K$ und $L$. Ferner sei $N$ Mittelpunkt von BC und AM Höhe im Dreieck ABC. Man zeige, dass K,L,N,M auf einem Kreis liegen. |
Viel Spaß!
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:39 Mi 28.12.2005 | | Autor: | moudi |
| Aufgabe | Es sei ein Dreieck ABC gegeben. Die Fußpunkte der Lote von
B und C auf die Winkelhalbierende des Winkels bei A seien K und L. Ferner sei N Mittelpunkt von BC und AM Höhe im Dreieck ABC.
Man zeige, dass K,L,N,M auf einem Kreis liegen. |
Hallo Hanno
Es sei D der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden [mm] $w_\alpha$ [/mm] mit dem Umkreis. Bekannlich (folgt aus dem Peripheriewinkelsatz) halbiert dann D den Umkreisbogen zwischen B und C. Das heisst die Seitenmitte N ist der Lotfusspunktes des Lotes von D auf die Seite BC. Ausserdem ist M der Lotfusspunkt des Lotes von A auf BC.
Die Aufgabe ist also ein Spezialfall folgender Aufgabe:
Gegeben sei ein Kreis (oben: Umkreis des Dreiecks) und vier Punkte A, B, C, D auf dem Kreis. Seien K, L die Lotfusspunkte von B, C auf die Gerade AD und M, N die Lotfusspunkte von A, D auf die Gerade BC.
Dann liegen die vier Punkte K, L, M, N ebenfalls auf einem Kreis.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sei S der Schnittpunkt von AD und BC (sind AD und BC parallel, dann ist KLMN ein gleichschenkliges Trapez).
Nach dem Sekantensatz liegen die vier Punkte K, L, M, N genau dann auf einem Kreis, wenn [mm] $SK\cdot SL=SM\cdot [/mm] SN$ ist.
Weil A, B, C, D auf einem Kreis liegen gilt daher: [mm] $SA\cdot SD=SB\cdot [/mm] SC$.
Die vier Punkte A, C, L, M, liegen auf einem Kreis, dem Thaleskreis über AC, deshalb gilt
1) [mm] $SA\cdot SL=SC\cdot [/mm] SM$
Die vier Punkte B, D, K, N liegen auf einem Kreis, dem Thaleskreis über BD, deshalb gilt
2) [mm] $SD\cdot SK=SB\cdot [/mm] SN$
Multipliziert man die Gleichungen 1) und 2) miteinander und berücksichtigt [mm] $SA\cdot SD=SB\cdot [/mm] SC$, so erhält man
[mm] $SK\cdot SL=SM\cdot [/mm] SN$, daher liegen die vier Punkte $K, L, M, N$ auf einem Kreis. QED
mfG Moudi
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Do 05.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo Moudi!
Eine tolle Lösung! Den Ansatz, über die Umkehrung des Sehnensatzes zu zeigen, dass KLMN ein Sehnenviereck ist, finde ich toll und den habe ich auch bisher noch nirgends gesehen! Ich werde es mir auf jeden Fall merken :)
Danke für diese klasse Lösung! ![[respekt]](/images/smileys/respekt.gif "[respekt]")
Liebe Grüße,
Hanno
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