Aufgabe - Grenzwertberechnung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:38 Mo 29.12.2008 | | Autor: | larifari |
| Aufgabe | [mm] \limes_{x\rightarrow1}\bruch{x^{n}-1}{x-1}
[/mm]
(n=ganz, [mm] n\not=0) [/mm] |
Hallo,
von oben stehender Funktion soll ich den Grenzwert berechnen. Erstmal zum einfacheren Verständnis für mich:
[mm] (n=ganz;n\not=0) [/mm] bedeutet, dass eine Ganze Zahl ist, die aber nicht 0 wird!?
[mm] {x\rightarrow1} [/mm] sagt mir, dass der Wert von x sich 1 annähert, aber diesen nicht erreicht!? Er läuft also von [mm] -\infty [/mm] bis 1, erreicht die 1 aber nicht? Hoffe soweit sind meine Gedanken richtig.
Jetzt such ich also die Zahl, welche die Funktion für die Vorgabe begrenzt!? Aber wie geh ich da jetzt vor wenn ich 2 unbekannte in der Gleichung habe? Ich würde jetzt solange Werte einsetzen und rumprobieren bis ich denke einen Grenzwert gefunden zu haben? Sollte doch aber einfach gehen!?
Grüße
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Hallo larifari,
> [mm]\limes_{x\rightarrow1}\bruch{x^{n}-1}{x-1}[/mm]
> (n=ganz, [mm]n\not=0)[/mm]
> Hallo,
>
> von oben stehender Funktion soll ich den Grenzwert
> berechnen. Erstmal zum einfacheren Verständnis für mich:
>
> [mm](n=ganz;n\not=0)[/mm] bedeutet, dass [mm] $\red{n}$ [/mm] eine Ganze Zahl ist, die aber nicht 0 wird!? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]{x\rightarrow1}[/mm] sagt mir, dass der Wert von x sich 1
> annähert, aber diesen nicht erreicht!? Er läuft also von
> [mm]-\infty[/mm] bis 1, erreicht die 1 aber nicht?
Ja, aber x kann sich genauso gut von oben der 1 annähern, also von [mm] $\red{+}\infty$ [/mm] angerannt kommen
> Hoffe soweit sind meine Gedanken richtig.
Jo, im großen und ganzen
>
> Jetzt such ich also die Zahl, welche die Funktion für die
> Vorgabe begrenzt!? Aber wie geh ich da jetzt vor wenn ich 2
> unbekannte in der Gleichung habe? Ich würde jetzt solange
> Werte einsetzen und rumprobieren bis ich denke einen
> Grenzwert gefunden zu haben? Sollte doch aber einfach
> gehen!?
Was bekommst du denn, wenn du Werte nahe der 1 einsetzt?
Etwa $x=1.01$ oder auch $x=0.99$ ?
Wenn du direkt $x=1$ einsetzt, bekommst du einen fiesen unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] das kann alles mögliche sein, man kann keine Aussage darüber treffen
Wenn du sie schon kennst, ist hier die Regel von de l'Hôpital sehr sehr nützlich, damit kann man den Grenzwert ratz fatz bestimmen
Ansonsten kannst du mal die Polynomdivision [mm] $(x^n-1):(x-1)$ [/mm] ausrechnen (mit Pünktchen  )
Die geht schön auf, denn [mm] $x^n-1$ [/mm] ist durch $x-1$ teilbar
So wirst du den Nenner los und kannst "gefahrlos" [mm] $x\to [/mm] 1$ gehen lassen
Du musst dir dann nur Gedanken machen, wieviele Summanden du mit den Pünktchen hast ...
Geh's mal an!
>
> Grüße
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:08 Mo 29.12.2008 | | Autor: | larifari |
Hoi, danke für die Antwort.
Aber was meinst du mit Pünktchen?
> Ansonsten kannst du mal die Polynomdivision [mm](x^n-1):(x-1)[/mm]
> ausrechnen (mit Pünktchen )
Was kommt denn bei Polynomdivision raus?
[mm] x^{n}-1:(x-1)=1^{n} [/mm] oder? Ist dann der Grenzwert n?
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Hallo nochmal,
> Hoi, danke für die Antwort.
>
> Aber was meinst du mit Pünktchen?
>
> > Ansonsten kannst du mal die Polynomdivision [mm](x^n-1):(x-1)[/mm]
> > ausrechnen (mit Pünktchen )
>
> Was kommt denn bei Polynomdivision raus?
> [mm]x^{n}-1:(x-1)=1^{n}[/mm] oder?
Nein!
> Ist dann der Grenzwert n?
Ja, aber wieso du auf "dann" kommst, weiß ich nicht, wenn das Ergebnis der Polynomdivision [mm] $1^n$ [/mm] wäre, was würde für [mm] $x\to [/mm] 1$ passieren?
Nix, das wäre immer noch [mm] $1^n=1$, [/mm] es ist ja völlig unabhängig von x!
Und da [mm] $1\neq [/mm] n$ ist, verstehe ich dein "dann" nicht, ok?
Für die Polynomdivision [mm] $(\red{x^n}-1):(\blue{x}-1)$ [/mm] musst du erstmal überlegen, wie oft das [mm] $\blue{x}$ [/mm] in das [mm] $\red{x^n}$ [/mm] "reinpasst, womit musst du $x$ mulsiplizieren, dass es [mm] $x^n$ [/mm] ergibt? Offensichtlich mit [mm] $x^{n-1}$
[/mm]
Also
[mm] $(x^n-1):(x-1)=x^{n-1}+....$
[/mm]
[mm] -(x^n-x^{n-1})
[/mm]
-------------
[mm] x^{n-1}-1
[/mm]
Dann überlege, wie oft x in [mm] x^{n-1} [/mm] reinpasst, offenbar [mm] x^{n-2} [/mm] mal
usw.
Also [mm] $(x^n-1):(x-1)=x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+ [/mm] ..... [mm] +x^3+x^2+\underbrace{x}_{=x^1}+\underbrace{1}_{=x^0}$
[/mm]
Jetzt überlege mal scharf, wieviele Summanden da rechterhand stehen.
Wenn du das rausgeknobelt hast, überlege dir, was nun passiert, wenn [mm] $x\to [/mm] 1$ geht, was ergibt sich rechterhand?
LG
schachuzipus
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:39 Mo 29.12.2008 | | Autor: | larifari |
> Ja, aber wieso du auf "dann" kommst, weiß ich nicht, wenn
> das Ergebnis der Polynomdivision [mm]1^n[/mm] wäre, was würde für
> [mm]x\to 1[/mm] passieren?
>
> Nix, das wäre immer noch [mm]1^n=1[/mm], es ist ja völlig unabhängig
> von x!
>
> Und da [mm]1\neq n[/mm] ist, verstehe ich dein "dann" nicht, ok?
Soweit ist mir das klar, war ein Denkfehler meinerseits.
>
> Für die Polynomdivision [mm](\red{x^n}-1):(\blue{x}-1)[/mm] musst du
> erstmal überlegen, wie oft das [mm]\blue{x}[/mm] in das [mm]\red{x^n}[/mm]
> "reinpasst, womit musst du [mm]x[/mm] mulsiplizieren, dass es [mm]x^n[/mm]
> ergibt? Offensichtlich mit [mm]x^{n-1}[/mm]
>
> Also
>
> [mm](x^n-1):(x-1)=x^{n-1}+....[/mm]
> [mm]-(x^n-x^{n-1})[/mm]
> -------------
> [mm]x^{n-1}-1[/mm]
>
> Dann überlege, wie oft x in [mm]x^{n-1}[/mm] reinpasst, offenbar
> [mm]x^{n-2}[/mm] mal
>
> usw.
>
> Also [mm](x^n-1):(x-1)=x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+ ..... +x^3+x^2+\underbrace{x}_{=x^1}+\underbrace{1}_{=x^0}[/mm]
>
> Jetzt überlege mal scharf, wieviele Summanden da
> rechterhand stehen.
Gibt es da überhaupt eine genaue Lösungen oder sind es alle Ganzen Zahlen?
Wem dem so ist, würde ich wiederum sagen, dass der Grenzwert n ist, weil ja dann irgendwie alles von den n abhängig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo larifari!
> > Also [mm](x^n-1):(x-1)=x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+ ..... +x^3+x^2+\underbrace{x}_{=x^1}+\underbrace{1}_{=x^0}[/mm]
> > Jetzt überlege mal scharf, wieviele Summanden da
> > rechterhand stehen.
>
> Gibt es da überhaupt eine genaue Lösungen oder sind es alle
> Ganzen Zahlen?
Ja, es gibt genau eine exakte Lösung. Dafür musst Du einfach mal die Anzahl der Summanden korrekt zählen (wie bereits als Tipp genannt!), für welche man anschließend [mm] $x\rightarrow [/mm] 1$ einsetzt.
> Wem dem so ist, würde ich wiederum sagen, dass der
> Grenzwert n ist, weil ja dann irgendwie alles von den n
> abhängig ist?
Der Grenzwert mit $n_$ ist schon richtig (allerdings nicht Deine Begründung).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:59 Mo 29.12.2008 | | Autor: | larifari |
Sorry, auch wenn ich jetzt Gefahr laufe als kompletter Trottel dazustehen, die Sache mit den auszählen der Summanden verstehe ich nicht!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 Mo 29.12.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo larifari!
$$... \ = \ [mm] x^{n-1}+x^{n-2}+x^{n-3}+ [/mm] ... [mm] +x^3+x^2+x+1$$
[/mm]
Wieviele Summanden / wieviel Terme werden denn hier addiertß Beginne am besten mal ganz rechts mit dem Zählen ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:05 Mo 29.12.2008 | | Autor: | larifari |
Also ich sehe 7 Summanden plus "..." und das kann ichirgendwie nicht einordnen!?
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Hallo,
du hast doch aber die Summanden nicht gezählt, die bei ..... stehen! Eventuell hilft dir ja folgende Zählweise, beginnen wir an der vorletzten Stelle von rechts:
x ist 1. Summand
[mm] x^{2} [/mm] ist 2. Summand
[mm] x^{3} [/mm] ist 3. Summand
[mm] x^{4} [/mm] ist 4. Summand
jetzt kommen die Pünktchen
[mm] x^{n-1} [/mm] ist (n-1)ter Summand
jetzt haben wir noch einen Summanden, die 1 ganz recht, also insgesamt n Summanden
Vorschlag: mache mal n=5, so bekommst du [mm] (x^{5}-1):(x-1) [/mm] dividiere, dann zähle die Summanden,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 Mo 29.12.2008 | | Autor: | larifari |
> Vorschlag: mache mal n=5, so bekommst du [mm](x^{5}-1):(x-1)[/mm]
> dividiere, dann zähle die Summanden,
bei n=5 komme ich auf 5 Summanden, folglich komme ich bei [mm] x^{n} [/mm] auf n-Summanden oder? Wenn ja dann hat es Klick gemacht. Eigentlich recht peinlich so lange zu brauchen um darauf zu kommen. :(
Wenn ich jetzt also das x gegen 1 laufen lasse komme ich dadurch auf Grenzwert n!? Wie begründe ich das jetzt mathematisch korrekt? Reicht einfaches hinschreiben?
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Hallo nochmal,
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> > Vorschlag: mache mal n=5, so bekommst du [mm](x^{5}-1):(x-1)[/mm]
> > dividiere, dann zähle die Summanden,
>
> bei n=5 komme ich auf 5 Summanden, folglich komme ich bei
> [mm]x^{n}[/mm] auf n-Summanden oder?
Aha!
> Wenn ja dann hat es Klick gemacht.
Ich kann's hören
> Eigentlich recht peinlich so lange zu brauchen um
> darauf zu kommen. :(
>
> Wenn ich jetzt also das x gegen 1 laufen lasse komme ich
> dadurch auf Grenzwert n!? Wie begründe ich das jetzt
> mathematisch korrekt? Reicht einfaches hinschreiben?
Du hast nun deinen Ausgangsbruch umgeformt zu [mm] $\red{x}^{n-1}+\red{x}^{n-2}+\red{x}^{n-3}+ [/mm] .... + [mm] \red{x}^3+\red{x}^2+\red{x}+1$
[/mm]
Nun läuft [mm] $\red{x}\to [/mm] 1$; was passiert?
Die Summe strebt gegen [mm] $\red{1}^{n-1}+\red{1}^{n-2}+\red{1}^{n-3}+ [/mm] ..... + [mm] \red{1}^3+\red{1}^2+\red{1}+1$
[/mm]
Und das ist $= ...$
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Mo 29.12.2008 | | Autor: | larifari |
und diese Summe entsprich n-Summanden und deswegen ist der Grenzwert n.
Vielen Dank, allen die mir geholfen haben. Ich brauch halt manchmal ein bisschen länger...Grüße
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