Auf Stetigkeit prüfen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 10.12.2007 | | Autor: | zeegro |
| Aufgabe | Ist die folgende Funktion stetig bzw stetig fortsetzbar in [mm] x_{0}= \bruch{1}{2}, (x_{0}=0) [/mm]
[mm] f(x)=|\bruch{x^2-x+(\bruch{1}{4})}{4x^4}|
[/mm]
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Wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor?
Angefangen bin ich damit [mm] \bruch{1}{2} [/mm] einzusetzen und habe gesehen, dass dort eine Nullstelle ist. Wie beweise ich nun die Stetigkeit?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo zeegro!
Du musst hier an der entsprechenden Stelle sowohl den rechtsseitigen als auch den linksseitigen Grenzwert betrachten und vergleichen. Das heißt: einmal nähert man sich dem Wert [mm] $x_0 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] von oben her und einmal von unten her:
linksseitiger Grenzwert:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\bruch{1}{2}\uparrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}f\left(\blue{\bruch{1}{2}-h}\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\left|\bruch{\left(\blue{\bruch{1}{2}-h}-\bruch{1}{2}\right)^2}{4*\left(\blue{\bruch{1}{2}-h}\right)^4}\right| [/mm] \ = \ ...$$
rechtsseitiger Grenzwert:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow\bruch{1}{2}\downarrow}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}f\left(\blue{\bruch{1}{2}+h}\right) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\left|\bruch{\left(\blue{\bruch{1}{2}+h}-\bruch{1}{2}\right)^2}{4*\left(\blue{\bruch{1}{2}+h}\right)^4}\right| [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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