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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Di 01.11.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Wir definieren auf den reelen Zahlen [mm] \IR [/mm] eine neue Verknüpfung und zwar a*b:=ab+a+b . Prüfen sie, ob damit [mm] (\IR,*) [/mm] eine Gruppe ist! |
Juten Tag,
also ich hab mal angefangen:
1) Abgeschlossenheit: Wenn a,b [mm] \in \IR, [/mm] dann ist auch a*b [mm] \in \IR.
[/mm]
Ja das gilt, weil auf den reelen Zahlen definiert wurde und durch die Addition verändert sich doch nichts, oder?
2)Assoziativgesetz: Gilt auch durch die Additon:z.B. ab+(a+b)=(ab+a)+b?
3) Das neutrale Element: Da hab ich so meine schwierigkeiten. Also ich suche ein Element, welches keinen Einfluss auf meine Verknüpfung hat. Als Tipp habe ich noch bekommen, dass ein SOnderfall auftritt und ich nicht durch 0 dividieren darf. Irgendwelche Anregungen?
4) Inverses Element: Joa, dass wär in diesem Fall -ab-a-b oder? Also hat es eins.
Vielen Dank
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Hallo durden,
nicht ganz...
> Wir definieren auf den reelen Zahlen [mm]\IR[/mm] eine neue
> Verknüpfung und zwar a*b:=ab+a+b . Prüfen sie, ob damit
> [mm](\IR,*)[/mm] eine Gruppe ist!
> Juten Tag,
>
> also ich hab mal angefangen:
> 1) Abgeschlossenheit: Wenn a,b [mm]\in \IR,[/mm] dann ist auch a*b
> [mm]\in \IR.[/mm]
> Ja das gilt, weil auf den reelen Zahlen definiert
> wurde und durch die Addition verändert sich doch nichts,
> oder?
Ernstgemeinte Frage? Die müsstest Du selbst beanworten können.
> 2)Assoziativgesetz: Gilt auch durch die Additon:z.B.
> ab+(a+b)=(ab+a)+b?
Wozu das Fragezeichen?
> 3) Das neutrale Element: Da hab ich so meine
> schwierigkeiten. Also ich suche ein Element, welches keinen
> Einfluss auf meine Verknüpfung hat. Als Tipp habe ich noch
> bekommen, dass ein SOnderfall auftritt und ich nicht durch
> 0 dividieren darf. Irgendwelche Anregungen?
Nennen wir das neutrale Element n.
Dann muss für jedes [mm] a\in\IR [/mm] doch gelten: a*n=a, also
a*n=an+a+n=a, mithin an+n=n(a+1)=0
Für [mm] a\not=-1 [/mm] ist also die Null das neutrale Element.
Und a=-1 kannst Du ja mal selbst untersuchen.
> 4) Inverses Element: Joa, dass wär in diesem Fall -ab-a-b
> oder? Also hat es eins.
Nein, wieso?
Das zu a inverse Element [mm] \bar{a} [/mm] ist doch so definiert:
[mm] a*\bar{a}=n, [/mm] wobei n das neutrale Element bezeichnet.
Es muss also gelten: [mm] a*\bar{a}=a\bar{a}+a+\bar{a}=0
[/mm]
[mm] \gdw \bar{a}(a+1)=-a\quad\gdw\quad \bar{a}=-\bruch{a}{a+1}
[/mm]
...wieder mit dem noch zu untersuchenden Sonderfall a=-1.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Di 01.11.2011 | | Autor: | durden88 |
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> > 3) Das neutrale Element: Da hab ich so meine
> > schwierigkeiten. Also ich suche ein Element, welches keinen
> > Einfluss auf meine Verknüpfung hat. Als Tipp habe ich noch
> > bekommen, dass ein SOnderfall auftritt und ich nicht durch
> > 0 dividieren darf. Irgendwelche Anregungen?
>
> Nennen wir das neutrale Element n.
> Dann muss für jedes [mm]a\in\IR[/mm] doch gelten: a*n=a, also
> a*n=an+a+n=a, mithin an+n=n(a+1)=0
Diesen Schritt verstehe ich nicht ganz. Meine Verknüpfung ist ja definiert als ab+a+b. Wieso kann ich das b auf einmal weg lassen oder muss ich für b auch nochmal das Neutrale Element suchen, also den Schritt nochmals machen? Weil dann käme das gleiche raus wie mit a. Zum anderen hast du das =0 gesetzt. Wieso denn?
> Für [mm]a\not=-1[/mm] ist also die Null das neutrale Element.
> Und a=-1 kannst Du ja mal selbst untersuchen.
Ok die Klammer löst sich auf wenn a=-1 ist. Inwieweit soll ich auf a=-1 untersuchen?
> > 4) Inverses Element: Joa, dass wär in diesem Fall -ab-a-b
> > oder? Also hat es eins.
>
> Nein, wieso?
> Das zu a inverse Element [mm]\bar{a}[/mm] ist doch so definiert:
> [mm]a*\bar{a}=n,[/mm] wobei n das neutrale Element bezeichnet.
>
> Es muss also gelten: [mm]a*\bar{a}=a\bar{a}+a+\bar{a}=0[/mm]
> [mm]\gdw \bar{a}(a+1)=-a\quad\gdw\quad \bar{a}=-\bruch{a}{a+1}[/mm]
>
> ...wieder mit dem noch zu untersuchenden Sonderfall a=-1.
Ok das hab ich verstanden, aber wieder die Frage: Muss ich das gleiche auch mit b machen und mit dem Sonderfall -1: Den darf ich selbstverständlich nicht einsetzen, aber inwieweit untersuchen?
Vielen lieben Dank
> Grüße
> reverend
>
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Hallo durden,
> > > 3) Das neutrale Element: Da hab ich so meine
> > > schwierigkeiten. Also ich suche ein Element, welches keinen
> > > Einfluss auf meine Verknüpfung hat. Als Tipp habe ich noch
> > > bekommen, dass ein SOnderfall auftritt und ich nicht durch
> > > 0 dividieren darf. Irgendwelche Anregungen?
> >
> > Nennen wir das neutrale Element n.
> > Dann muss für jedes [mm]a\in\IR[/mm] doch gelten: a*n=a, also
> > a*n=an+a+n=a, mithin an+n=n(a+1)=0
Hier ist doch gar nicht behauptet, dass das a das aus der Definition der Verknüpfung ist!
> Diesen Schritt verstehe ich nicht ganz. Meine Verknüpfung
> ist ja definiert als ab+a+b. Wieso kann ich das b auf
> einmal weg lassen oder muss ich für b auch nochmal das
> Neutrale Element suchen, also den Schritt nochmals machen?
Quatsch. Die Verknüpfung ist doch symmetrisch in a,b und damit auch kommutativ.
> Weil dann käme das gleiche raus wie mit a. Zum anderen
> hast du das =0 gesetzt. Wieso denn?
Das habe ich nicht. Ich habe die Definition angewandt und ab da Äuqivalenzumformungen, wie in der Mittelstufe.
> > Für [mm]a\not=-1[/mm] ist also die Null das neutrale Element.
> > Und a=-1 kannst Du ja mal selbst untersuchen.
> Ok die Klammer löst sich auf wenn a=-1 ist. Inwieweit
> soll ich auf a=-1 untersuchen?
Zu a=-1 ist jedes andere Element neutral.
Was sagt das über die Gruppe aus?
> > > 4) Inverses Element: Joa, dass wär in diesem Fall -ab-a-b
> > > oder? Also hat es eins.
> >
> > Nein, wieso?
> > Das zu a inverse Element [mm]\bar{a}[/mm] ist doch so
> definiert:
> > [mm]a*\bar{a}=n,[/mm] wobei n das neutrale Element bezeichnet.
> >
> > Es muss also gelten: [mm]a*\bar{a}=a\bar{a}+a+\bar{a}=0[/mm]
> > [mm]\gdw \bar{a}(a+1)=-a\quad\gdw\quad \bar{a}=-\bruch{a}{a+1}[/mm]
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> >
> > ...wieder mit dem noch zu untersuchenden Sonderfall a=-1.
> Ok das hab ich verstanden, aber wieder die Frage: Muss
> ich das gleiche auch mit b machen und mit dem Sonderfall
> -1: Den darf ich selbstverständlich nicht einsetzen, aber
> inwieweit untersuchen?
a=-1 hat kein inverses Element. Was sagt das über die Gruppe aus?
Grüße
reverend
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