Audgabe zur vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion:
[mm] $\summe_{k=0}^{n} 2^k [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm] - 1$ |
Hey bin nun bei vollständiger Induktion angelangt.
Alles soweit so gut.. aber irgendwie stimmt diese Formel nicht..
1) Induktionsanfang für n: ich wähle dann n=1 und dann rechne ich die Gleichung für n=1
das wäre doch dann für n=1, [mm] 2^k [/mm] : [mm] 2^0 [/mm] = 1 auf der linken Seite der Gleichung.
Aber wenn ich dann jetzt die 1 in den rechten Teil der Gleichung einsetze kommt nicht 1 raus
[mm] $2^{1+1} [/mm] - 1 = 4-1 = 3$
Habe ich was falsch gemacht?
Update:
Ohh ich sehe gerade, ich hab einen Fehler gemacht. Es muss ja auch Null heissen, da ja k=0 oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Tobi,
Debke daran, dass i bei 0 zu laufen beginnt, für n=1 hast Du also zwei terme auf der linken Seite der Gleichung stehen und dann stimmt es wieder.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Richtig!!
Das ist mir eben auch aufgefallen...echt sau dummer Fehler von mir, sorry und danke für die Antwort!
Gruß Tobi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Alles gut jetzt.
Wie kann ich jetzt von auf n+1 schließen?
Ich weiß nicht genau wie ich den Term nun umformen muss um auf n+1 zu kommen
[mm] 2^{n+1} [/mm] -1 gilt ja für n. Also quasi den Term erweitern auf n+1. Aber wie genau ist mir leider nicht ganz klar
Hätte jemand einen Vorschlag?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Sa 25.06.2011 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} 2^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} 2^k+2^{n+1}$
[/mm]
Jetzt Induktionsvor. verbraten.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Oh cool, vielen Dank.
Aber der Term [mm] $2^{n+1}-1$ [/mm] muss ja auch noch auf n+1 erweitert werden richtig? Da dieser ja unten bei Einsetzung der Vorschrift auch wieder raus kommen muss oder?
also erstmal so:
[mm] $\summe_{k=0}^{n} 2^k+2^{n+1} [/mm] = [mm] $2^{n+1}-1 [/mm] + [mm] 2^{n+1}$
[/mm]
Und diesen dann auflösen solange bis ich dann wieder auf den erweiterten Term von [mm] $2^{n+1}-1$ [/mm] (den ich noch nicht berechnet habe siehe oben) stosse
Richtig so?
Vielen Dank
Gruß Tobi
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Moin,
> Oh cool, vielen Dank.
> Aber der Term [mm]2^{n+1}-1[/mm] muss ja auch noch auf n+1
> erweitert werden richtig?
Da ist mir nicht klar, was du mit auf n+1 erweitern meinst. Im Induktionsschritt ist doch z.z., dass
[mm] \sum_{k=0}^{n+1}2^k=2^{n+2}-1
[/mm]
> Da dieser ja unten bei Einsetzung der Vorschrift auch wieder raus kommen muss oder?
>
> also erstmal so:
> [mm]$\summe_{k=0}^{n} 2^k+2^{n+1}[/mm] = [mm]$2^{n+1}-1[/mm] + [mm]2^{n+1}$[/mm]
Was ist denn [mm] 2^{n+1}+2^{n+1} [/mm] ?
Vergleiche dann mit dem, was du zeigen willst (s.o.).
> Und diesen dann auflösen solange bis ich dann wieder auf
> den erweiterten Term von [mm]2^{n+1}-1[/mm] (den ich noch nicht
> berechnet habe siehe oben) stosse
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Fred97 sagte zu mir eben:
$ [mm] \summe_{k=0}^{n+1} 2^k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} 2^k+2^{n+1} [/mm] $
Das ist ja die Folgerung von n auf n+1 vom linken Teil der Gleichung also der Summe.
Aber dasselbe muss ich ja auch nochmal mit dem Rechten Teil also mit [mm] $2^{n+1} [/mm] -1$ machen oder? Das meinte ich mit erweitern auf n+1.
Oder ergibt das dann [mm] $2^{n+2} [/mm] -1$?
Danke
Gruß Tobi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Sa 25.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Was du in diesem Zusammenhang mit erweitern meinst, ist immer noch unklar.
Es gilt aber:
[mm] 2^{k+1}+2^{k+1}=2\cdot2^{k+1}=2^{1}\cdot2^{k+1}=\ldots
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Also in einer Aufgabe zuvor wurde aus von n zu n+1:
[mm] $\bruch{n(n+1)*(2n+1)}{6}$ [/mm] = [mm] $\bruch{(n+1)*(n+2)*((2n+1)+1)}{6}$ [/mm] wurde also mit n+1 erweitert.
Und das wer der Rechte Teil der Gleichung.
Und aus dem linken Teil der Gleichung wurde:
[mm] $\summe_{k=1}^{n} k^2$ [/mm] = [mm] $\summe_{k=1}^{n+1} k^2 [/mm] + [mm] (n+1)^2$
[/mm]
Das war alles bei der Folgerung.
Dann wurde [mm] $\summe_{k=1}^{n+1} k^2$ [/mm] mit [mm] $\bruch{n(n+1)*(2n+1)}{6}$ [/mm] ersetzt also:
[mm] $\bruch{n(n+1)*(2n+1)}{6} [/mm] + [mm] (n+1)^2$
[/mm]
Dieser Term wurde dann vereinfacht und zusammengefasst und dann kam dasselbe raus wie oben nämlich: [mm] $\bruch{(n+1)*(n+2)*((2n+1)+1)}{6}$
[/mm]
Und dasselbe muss ich doch dann bei dieser Aufgabe hier auch machen?
Danke, Gruß
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> Also in einer Aufgabe zuvor wurde aus von n zu n+1:
> [mm]\bruch{n(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm] =
> [mm]\bruch{(n+1)*(n+2)*((2n+1)+1)}{6}[/mm] wurde also mit n+1
> erweitert.
Hallo,
ogottogott! Das Gleichheitszeichen ist grausam, und erweitert wurde hier nichts - trotzdem verstehe ich, was Du sagen willst.
In der Aufgabe, aufwelche Du Dich gerade beziehst, solltest Du per Induktion beweisen, daß
[mm] $\summe_{k=1}^{n} k^2$=$\bruch{n(n+1)*(2n+1)}{6}$ [/mm] für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
richtig ist.
Du hast dazu siher einen Induktionsanfang gemacht, indem Du gezeigt hast, daß die behauptung für n=1 stimmt,
dann hast Du (hoffentlich) die Induktionsvoraussetzung notiert.
Im Induktionsschluß findet dann schließlich der Schritt von n auf n+1 statt.
Man zeigt hier unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung, daß die Behauptung auch stimmt, wenn man für n nun n+1 einsetzt.
Es wird hier also vorgerechnet, daß
[mm] \summe_{k=1}^{\red{n+1}} k^2$=$\bruch{(\red{n+1})(\red{n+1}+1)*(2(\red{n+1})+1)}{6}
[/mm]
stimmt.
> Und dasselbe muss ich doch dann bei dieser Aufgabe hier
> auch machen?
Ja.
Zu zeigen ist: es ist $ [mm] \summe_{k=0}^{n} 2^k [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm] - 1 $ für alle [mm] n\in \IN.
[/mm]
Induktionsanfang:
Rechne hier die Richtigkeit für n=1 vor.
Induktionsvoraussetzung:
es ist $ [mm] \summe_{k=0}^{n} 2^k [/mm] = [mm] 2^{n+1} [/mm] - 1 $ richtig für ein [mm] n\in \IN.
[/mm]
Im Induktionsschluß zu zeigen: dann stimmt die Behauptung auch für die darauffolgende nat. Zahl, es ist dann also
$ [mm] \summe_{k=0}^{\red{n+1}} 2^k [/mm] = [mm] 2^{\red{n+1}+1}-1
[/mm]
richtig.
Beweis:
Es ist [mm] \summe_{k=0}^{\red{n+1}} 2^k= \summe_{k=0}^{n}2^k [/mm] + [mm] 2^{n+1}=...=...=...=...=...=...=2^{\red{n+1}+1}-1
[/mm]
Zwischen dem Beginn und dem Ende der Gleichungskette ist irgendwo die Induktionsvoraussetzung zu verwenden.
Ich hoffe, daß das, was ich beantwortet habe, Deine Frage war.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:30 Sa 25.06.2011 | | Autor: | Tobi85_ |
Ja das hatte ich so gemacht bei der voherigen Aufgabe.
Ja genau das hatte ich gemeint, wie aus [mm] $2^{n+1} [/mm] - 1 $
[mm] $2^{\red{n+1}+1}-1 [/mm] $ wird.
Dann hatte ich mich wohl falsch ausgedrückt mit dem erweitern, tut mir leid.
Ich werde die Aufgabe jetzt nochmal rechnen.
Vielen Dank für die Hilfe, ich hoffe ich bekomme es nun hin.
Grüße
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