Attraktor und w-limit Menge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:29 Mi 23.09.2015 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Moin,
es sei $X$ ein (kompakter) topologischer Raum und [mm] $f\colon X\to [/mm] X$ sei stetig. Sei $A$ ein Attraktor für $f$, d.h. es gibt eine Umgebung $V$ von $A$ und ein [mm] $N\in\mathbb{N}$, [/mm] sodass [mm] $f^N(V)\subset [/mm] V$ und [mm] $A=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}f^n(V)$.
[/mm]
Ein [mm] $y\in [/mm] X$ ist ein sog. [mm] $\omega$-Grenzwert [/mm] eines [mm] $x\in [/mm] X$, wenn es eine strikt aufsteigende Folge [mm] $\left\{n_k\right\}_{k\in\mathbb{N}}$ [/mm] derart gibt, dass [mm] $f^{n_k}(x)\to [/mm] y$ für [mm] $k\to\infty$. [/mm] Die Menge aller [mm] $\omega$-Grenzwerte [/mm] von $x$ sei mit [mm] $\omega(x)$ [/mm] bezeichnet. Alternativ kann man das auch so ausdrücken:
[mm] $\omega(x)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\overline{\left\{f^k(x): k>n\right\}}$
[/mm]
Innerhalb dieses Settings stellt sich mir nun die Frage, ob
$$
[mm] \omega(x)\subset A~\text{ für alle }x\in [/mm] V.
$$ |
Sei [mm] $x\in [/mm] V, [mm] y\in\omega(x)$.
[/mm]
Dann gilt nach Definition, dass
$$
[mm] y\in\overline{\left\{f^k(x): k>n\right\}}~\text{ für alle }n\in\mathbb{N}.
[/mm]
$$
Die Frage ist nun, ob auch [mm] $y\in f^n(V)$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathbb{N}$. [/mm] Falls ja, gilt [mm] $y\in [/mm] A$ und die Aussage stimmt.
(Ich habe noch keine Antwort gefunden.)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:04 Sa 26.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
