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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 Fr 15.10.2010 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | 1) Sei M eine Menge mit einem Atlas [mm] \mathcal{A} [/mm] und zwei Karten [mm] \varphi_{1} [/mm] und [mm] \varphi_{2} [/mm] derart, dass [mm] \mathcal{A}_{1}:=\mathcal{A}\cup\{\varphi_{1}\} [/mm] und [mm] \mathcal{A}_{2}:=\mathcal{A}\cup\{\varphi_{2}\} [/mm] Atlanten sind. Zeigen Sie, dass dann auch [mm] \mathcal{A}\cup\{\varphi_{1}, \varphi_{2}\} [/mm] ein Atlas ist.
2) Finden Sie eine Menge M mit einem Atlas [mm] \mathcal{A}, [/mm] sodass jeder mit [mm] \mathcal{A} [/mm] verträgliche Atlas [mm] \mathcal{B} [/mm] (d. h. [mm] \mathcal{A}\cup\mathcal{B} [/mm] bildet einen Atlas) unendlich viele Karten hat. |
Heyho!
Bei der ersten Aufgabe geht es ja nur darum zu zeigen, dass auch die beiden Karten [mm] \varphi_{1} [/mm] und [mm] \varphi_{2} [/mm] miteinander verträglich sind...
Doch wie stelle ich das an?
Seien [mm] U_{1/2} [/mm] die Definitionsmengen der Karten und [mm] V_{1/2}\subset\IR^{n} [/mm] die Bilder.
Zu zeigen ist:
(i) [mm] \varphi_{1/2}(U_{1}\cap U_{2}) [/mm] sind offen im [mm] \IR^{n}
[/mm]
(ii) [mm] \varphi_{1/2}\circ\varphi_{2/1}^{-1}: \varphi_{2/1}(U_{1}\cap U_{2})\to \varphi_{1/2}(U_{1} \cap \U_{2}) [/mm] sind glatt
Nach Voraussetzung weiß ich, dass für jede Karte [mm] \varphi:U\to [/mm] V aus [mm] \mathcal{A} [/mm] gilt:
[mm] \varphi_{1}(U_{1}\cap [/mm] U), [mm] \varphi(U_{1}\cap [/mm] U), [mm] \varphi(U_{2}\cap [/mm] U), [mm] \varphi_{2}(U_{2}\cap [/mm] U) sind offen im [mm] \IR^{n}
[/mm]
sowie, dass folgende Abbildungen glatt sind:
[mm] \varphi_{1/2}\circ\varphi^{-1}: \varphi(U_{1/2}\cap U)\to \varphi_{1/2}(U_{1/2}\cap [/mm] U)
[mm] \varphi\circ\varphi_{1/2}^{-1}: \varphi_{1/2}(U_{1/2}\cap [/mm] U) [mm] \to \varphi(U_{1/2} \cap [/mm] U)
Irgendwie muss man damit doch das nötige schließen können...
Aber ich hab ein bisschen den Überblick verloren -.-
Zur zweiten Aufgabe: Ich habe irgendwie noch nicht so wirklich ne Idee, wie ich sowas finden könnt. Dazu fehlt mir wohl noch das nötige Verständnis / die nötige Vorstellungskraft, was sowas angeht...
Muss M schon was wahnsinnig kompliziertes, riesiges sein oder geht das auch möglichst einfach? Aber woher weiß ich eigentlich, wie die Menge der verträglichen Atlanten aussieht? Mmmh?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Fr 15.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> 1) Sei M eine Menge mit einem Atlas [mm]\mathcal{A}[/mm] und zwei
> Karten [mm]\varphi_{1}[/mm] und [mm]\varphi_{2}[/mm] derart, dass
> [mm]\mathcal{A}_{1}:=\mathcal{A}\cup\{\varphi_{1}\}[/mm] und
> [mm]\mathcal{A}_{2}:=\mathcal{A}\cup\{\varphi_{2}\}[/mm] Atlanten
> sind. Zeigen Sie, dass dann auch
> [mm]\mathcal{A}\cup\{\varphi_{1}, \varphi_{2}\}[/mm] ein Atlas ist.
>
> 2) Finden Sie eine Menge M mit einem Atlas [mm]\mathcal{A},[/mm]
> sodass jeder mit [mm]\mathcal{A}[/mm] verträgliche Atlas
> [mm]\mathcal{B}[/mm] (d. h. [mm]\mathcal{A}\cup\mathcal{B}[/mm] bildet einen
> Atlas) unendlich viele Karten hat.
>
> Heyho!
>
> Bei der ersten Aufgabe geht es ja nur darum zu zeigen, dass
> auch die beiden Karten [mm]\varphi_{1}[/mm] und [mm]\varphi_{2}[/mm]
> miteinander verträglich sind...
>
> Doch wie stelle ich das an?
Du brauchst folgende zwei Bemerkungen:
(a) Ist $U [mm] \subseteq \IR^n$ [/mm] eine Menge und [mm] $U_i, [/mm] i [mm] \in [/mm] I$ eine Sammlung von offenen Mengen mit $U [mm] \subseteq \bigcup_i U_i$, [/mm] und ist $U [mm] \cap U_i$ [/mm] offen fuer jedes $i$, dann ist $U$ selber offen.
(b) Ist $f : U [mm] \to [/mm] V$ eine Funktion und gibt es zu jedem $x [mm] \in [/mm] U$ eine Umgebung $W$ von $x$ in $U$, so dass [mm] $f|_W$ [/mm] glatt ist, so ist $f$ glatt.
Wenn dir nicht klar ist, warum dies so ist, denk erstmal darueber nach.
> Seien [mm]U_{1/2}[/mm] die Definitionsmengen der Karten und
> [mm]V_{1/2}\subset\IR^{n}[/mm] die Bilder.
> Zu zeigen ist:
> (i) [mm]\varphi_{1/2}(U_{1}\cap U_{2})[/mm] sind offen im [mm]\IR^{n}[/mm]
> (ii) [mm]\varphi_{1/2}\circ\varphi_{2/1}^{-1}: \varphi_{2/1}(U_{1}\cap U_{2})\to \varphi_{1/2}(U_{1} \cap \U_{2})[/mm]
> sind glatt
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jetzt ueberlege dir, wie du (i) und (ii) mit den Bemerkungen (a) und (b) zeigen kannst, in dem du das hier verwendest:
> Nach Voraussetzung weiß ich, dass für jede Karte
> [mm]\varphi:U\to[/mm] V aus [mm]\mathcal{A}[/mm] gilt:
>
> [mm]\varphi_{1}(U_{1}\cap[/mm] U), [mm]\varphi(U_{1}\cap[/mm] U),
> [mm]\varphi(U_{2}\cap[/mm] U), [mm]\varphi_{2}(U_{2}\cap[/mm] U) sind offen
> im [mm]\IR^{n}[/mm]
>
> sowie, dass folgende Abbildungen glatt sind:
>
> [mm]\varphi_{1/2}\circ\varphi^{-1}: \varphi(U_{1/2}\cap U)\to \varphi_{1/2}(U_{1/2}\cap[/mm]
> U)
>
> [mm]\varphi\circ\varphi_{1/2}^{-1}: \varphi_{1/2}(U_{1/2}\cap[/mm]
> U) [mm]\to \varphi(U_{1/2} \cap[/mm] U)
Da [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ein Atlas ist, ueberdecken die Definitionsmengen der Karten aus [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] ganz $M$ und somit auch [mm] $U_1 \cap U_2$.
[/mm]
> Zur zweiten Aufgabe: Ich habe irgendwie noch nicht so
> wirklich ne Idee, wie ich sowas finden könnt. Dazu fehlt
> mir wohl noch das nötige Verständnis / die nötige
> Vorstellungskraft, was sowas angeht...
> Muss M schon was wahnsinnig kompliziertes, riesiges sein
> oder geht das auch möglichst einfach? Aber woher weiß ich
> eigentlich, wie die Menge der verträglichen Atlanten
> aussieht? Mmmh?
Ich weiss nicht, ob das hier optimal ist, aber evtl. hilft dir das hier weiter:
Ist $M = [mm] \{ 1 \} \times [/mm] IR [mm] \cup \{ 2 \} \times \IR$ [/mm] (zwei disjunkte Kopien von [mm] $\IR$), [/mm] und [mm] $U_1 [/mm] := [mm] \{ (1, x) \mid x \in \IR \}$ [/mm] und [mm] $U_2 [/mm] := [mm] \{ (1, x) \mid x \in \IR \}$ [/mm] und [mm] $\pi [/mm] : M [mm] \to \IR$, [/mm] $(i, x) [mm] \mapsto [/mm] x$, so ist [mm] $\{ \pi|_{U_1}, \pi|_{U_2} \}$ [/mm] ein Atlas fuer $M$. Und nimmst du einen dazu vertraeglichen Atlas, so muss dieser mindestens zwei Karten enthalten (warum?).
Das gleiche Spiel kannst du mit $M = [mm] \{ 1 \} \times \IR \cup \{ 2 \} \times \IR \cup \{ 3 \} \times \IR$ [/mm] machen; dann bekommst du, dass [mm] $\mathbb{B}$ [/mm] mindestens drei Karten haben muss.
Gibt dir das eine Idee, wie du auf unendlich viele Karten kommen kannst?
LG Felix
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Heyho!
>
> Du brauchst folgende zwei Bemerkungen:
>
> (a) Ist [mm]U \subseteq \IR^n[/mm] eine Menge und [mm]U_i, i \in I[/mm] eine
> Sammlung von offenen Mengen mit [mm]U \subseteq \bigcup_i U_i[/mm],
> und ist [mm]U \cap U_i[/mm] offen fuer jedes [mm]i[/mm], dann ist [mm]U[/mm] selber
> offen.
>
> (b) Ist [mm]f : U \to V[/mm] eine Funktion und gibt es zu jedem [mm]x \in U[/mm]
> eine Umgebung [mm]W[/mm] von [mm]x[/mm] in [mm]U[/mm], so dass [mm]f|_W[/mm] glatt ist, so ist
> [mm]f[/mm] glatt.
>
> Wenn dir nicht klar ist, warum dies so ist, denk erstmal
> darueber nach.
>
> > Seien [mm]U_{1/2}[/mm] die Definitionsmengen der Karten und
> > [mm]V_{1/2}\subset\IR^{n}[/mm] die Bilder.
> > Zu zeigen ist:
> > (i) [mm]\varphi_{1/2}(U_{1}\cap U_{2})[/mm] sind offen im
> [mm]\IR^{n}[/mm]
> > (ii) [mm]\varphi_{1/2}\circ\varphi_{2/1}^{-1}: \varphi_{2/1}(U_{1}\cap U_{2})\to \varphi_{1/2}(U_{1} \cap \U_{2})[/mm]
> > sind glatt
>
>
>
> Jetzt ueberlege dir, wie du (i) und (ii) mit den
> Bemerkungen (a) und (b) zeigen kannst, in dem du das hier
> verwendest:
>
> > Nach Voraussetzung weiß ich, dass für jede Karte
> > [mm]\varphi:U\to[/mm] V aus [mm]\mathcal{A}[/mm] gilt:
> >
> > [mm]\varphi_{1}(U_{1}\cap[/mm] U), [mm]\varphi(U_{1}\cap[/mm] U),
> > [mm]\varphi(U_{2}\cap[/mm] U), [mm]\varphi_{2}(U_{2}\cap[/mm] U) sind offen
> > im [mm]\IR^{n}[/mm]
> >
> > sowie, dass folgende Abbildungen glatt sind:
> >
> > [mm]\varphi_{1/2}\circ\varphi^{-1}: \varphi(U_{1/2}\cap U)\to \varphi_{1/2}(U_{1/2}\cap[/mm]
> > U)
> >
> > [mm]\varphi\circ\varphi_{1/2}^{-1}: \varphi_{1/2}(U_{1/2}\cap[/mm]
> > U) [mm]\to \varphi(U_{1/2} \cap[/mm] U)
>
> Da [mm]\mathcal{A}[/mm] ein Atlas ist, ueberdecken die
> Definitionsmengen der Karten aus [mm]\mathcal{A}[/mm] ganz [mm]M[/mm] und
> somit auch [mm]U_1 \cap U_2[/mm].
Mmmh? Irgendwie weiß ich nicht ganz, was genau ich als Überdeckung nehmen soll. Mir gelingt es in keinem Fall zu zeigen, dass die Schnitte offen sind. -.-
Es gilt:
[mm] \varphi_{1}(U_{1}\cap U_{2})\subset \bigcup_{(\varphi: U\to V)\in\mathcal{A}} \varphi_{1}(U\cap U_{1})
[/mm]
Wenn das soweit gut ist, wie kann man denn dann zeigen, dass
[mm] \varphi_{1}(U_{1}\cap U_{2})\cap \varphi_{1}(U\cap U_{1})=\varphi_{1}(U\cap U_{1}\cap U_{2}) [/mm] offen ist [mm] \forall(\varphi:U\to V)\in\mathcal{A}
[/mm]
Genausowenig weiß ich, warum es denn [mm] \forall x\in U_{1}\cap U_{2} [/mm] offene Umgebungen von [mm] \varphi_{1/2}(x) [/mm] gibt, in denen die Kartenwechsel glatt sind. Muss dann wohl irgendwas mit den anderen Kartenwechseln zu tun haben...
Aber ich verstehs nicht :-(
Deswegen:
Eine andere Aufgabe war es, zu zeigen, dass die Verträglichkeit von Atlanten eine Äquivalenzrelation ist. Für die Transitivität habe ich leider die erste Aufgabe verwendet...
Kann man die vielleicht auch anders zeigen? Dann folgt das ja ganz leicht...
> > Zur zweiten Aufgabe: Ich habe irgendwie noch nicht so
> > wirklich ne Idee, wie ich sowas finden könnt. Dazu fehlt
> > mir wohl noch das nötige Verständnis / die nötige
> > Vorstellungskraft, was sowas angeht...
> > Muss M schon was wahnsinnig kompliziertes, riesiges
> sein
> > oder geht das auch möglichst einfach? Aber woher weiß ich
> > eigentlich, wie die Menge der verträglichen Atlanten
> > aussieht? Mmmh?
>
> Ich weiss nicht, ob das hier optimal ist, aber evtl. hilft
> dir das hier weiter:
>
> Ist [mm]M = \{ 1 \} \times IR \cup \{ 2 \} \times \IR[/mm] (zwei
> disjunkte Kopien von [mm]\IR[/mm]), und [mm]U_1 := \{ (1, x) \mid x \in \IR \}[/mm]
> und [mm]U_2 := \{ (1, x) \mid x \in \IR \}[/mm] und [mm]\pi : M \to \IR[/mm],
> [mm](i, x) \mapsto x[/mm], so ist [mm]\{ \pi|_{U_1}, \pi|_{U_2} \}[/mm] ein
> Atlas fuer [mm]M[/mm]. Und nimmst du einen dazu vertraeglichen
> Atlas, so muss dieser mindestens zwei Karten enthalten
> (warum?).
Ja, das ist die Frage... Ich hab leider keine Ahnung. :-(
Kann eine Karte [mm] \varphi:U\to [/mm] V, deren Definitionsmenge Elemente aus unterschiedlichen [mm] U_{n} [/mm] beinhaltet, etwa nicht mit den anderen verträglich sein???
Das heißt: n, [mm] m\in \IN, [/mm] x, [mm] y\in \IR [/mm] mit [mm] n\not=m [/mm] und (m,x), [mm] (n,y)\in [/mm] U ist nicht verträglich mit [mm] \pi|_{U_n}???
[/mm]
Warum wäre das denn so, wenns daran liegt?
> Das gleiche Spiel kannst du mit [mm]M = \{ 1 \} \times \IR \cup \{ 2 \} \times \IR \cup \{ 3 \} \times \IR[/mm]
> machen; dann bekommst du, dass [mm]\mathbb{B}[/mm] mindestens drei
> Karten haben muss.
>
> Gibt dir das eine Idee, wie du auf unendlich viele Karten
> kommen kannst?
>
> LG Felix
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 22.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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