Asymptotische Gleichheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:45 Mo 02.03.2009 | | Autor: | daisa |
| Aufgabe | Zwei reellwertige Funktionen f und g, welche auf Teilmengen von [mm] \IR [/mm] definiert sind, heissen asymptotisch gleich falls
[mm] \exists [/mm] R [mm] \in \IR: \bruch{f}{g} [/mm] oder [mm] \bruch{g}{f} [/mm] existiert für alle x [mm] \ge [/mm] R und
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{f}{g} [/mm] = 1 bzw. [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{g}{f} [/mm] = 1.
Existiert für die folgenden Funktionen [mm] f_{i} [/mm] ein Element [mm] cx^{n} [/mm] aus [mm] \{cx^{n} : n \in \IN, c \in \IR\}, [/mm] so dass [mm] f_{i} [/mm] und das Monom [mm] cx^{n} [/mm] asymptotisch gleich sind? Falls ja, geben Sie dieses [mm] cx^{n} [/mm] an.
f(x) := [mm] \wurzel{(e^{-x} + sin(2x) + x)} [/mm] |
Hallo zusammen
Ich habe mir mal folgendes überlegt:
[mm] \bruch{f}{g} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{(e^{-x} + sin(2x) + x)}}{cx^{n}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{\(e^{-x} + sin(2x) + x)}{c^{2}x^{2n}}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{e^{x}c^{2}x^{2n}} + \bruch{sin(2x)}{c^{2}x^{2n}} + \bruch{1}{c^{2}x^{2n-1}}}
[/mm]
Also wenn ich jetzt mal den Limes laufen lasse, dann glaube ich, dass es null gibt, da alle Summanden null geben. Ich bin mir aber überhaupt nicht sicher. Was meint ihr dazu?
lg, daisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Mo 02.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles richtig erkannt
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mo 02.03.2009 | | Autor: | daisa |
Wow, du bist schnell.. 
Also dann finde ich kein c und n, so dass der Limes eins ergibt?
Wie kann ich das noch schön aufschreiben?
lg, daisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo daisa!
Berechne von allen 3 Brüchen unter der Wurzel den Grenzwert. Da diese Grenzwerte jeweils unabhängig von $c_$ und $n_$ immer Null ergeben, ist Deine Behauptung gezeigt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Mo 02.03.2009 | | Autor: | daisa |
Okay, klar..
Super, danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:13 Mo 02.03.2009 | | Autor: | daisa |
also du meinst, dass der Limes unter dem Bruch immer unendlich ergibt und so der Bruch null.. aber schon klar!
danke nochmals..
lg, daisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Loddar, ich habe mir jetzt mal den Fall n=0 überlegt, der 3. Summand lautet dann [mm] \bruch{x}{c^{2}} [/mm] der läuft doch aber für x gegen unendlich nicht gegen Null sondern gegen unendlich, was mache ich falsch? Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Steffi!
Einen Moment dachte ich schon: jetzt wurde ich erwischt! 
Für diesen Spezialfall hast Du Recht: der Grenzwert ergibt dann nicht Null.
Allerdings gilt gemäß Aufgabenstellung $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] , was nach meiner Interpretation $n \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ 0$ bedeutet.
Ich weiß, dies wird teilweise anders interpretiert, indem man sagt:
[mm] $$\IN [/mm] \ := \ [mm] \left\{ \ \red{0} \ ; 1 \ ; 2 \ ; 3 \ ; ... \right\}$$
[/mm]
Dies kenne ich jedoch unter [mm] $\IN_{\red{0}} [/mm] \ [mm] \supset [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mo 02.03.2009 | | Autor: | Steffi21 |
Danke Loddar, immer diese Sorgen mit der Null, Steffi
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