Asymptote < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Mo 13.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Asymptote folgender Funktion:
[mm] y=-x^{3}-2x^{2}+5x-2 [/mm] |
Guten Mittag,
nun beschäftigt mich dieser Ausdruck.
[mm] y=-x^{3}-2x^{2}+5x-2
[/mm]
[mm] y=x^{3}+2x^{2}-5x+2
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}-\infty^{3}-2\infty^{2}+5\infty-2=\infty
[/mm]
[mm] \limes_{-x\rightarrow\infty}-(-\infty)^{3}-2(-\infty)^{2}+5(-\infty)-2=-\infty
[/mm]
Ist das so korrekt?
Vielen Dank
Gruß
mbau16
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Hallo,
> Ermitteln Sie die Asymptote folgender Funktion:
>
> [mm]y=-x^{3}-2x^{2}+5x-2[/mm]
> Guten Mittag,
>
> nun beschäftigt mich dieser Ausdruck.
>
> [mm]y=-x^{3}-2x^{2}+5x-2[/mm]
>
> [mm]y=x^{3}+2x^{2}-5x+2[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}-\infty^{3}-2\infty^{2}+5\infty-2=\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{-x\rightarrow\infty}-(-\infty)^{3}-2(-\infty)^{2}+5(-\infty)-2=-\infty[/mm]
>
> Ist das so korrekt?
es ist
a) falsch
b) - wäre es denn richtig - völlig falsch aufgeschrieben (was tun die Unendlich-Symbole im Limes?)
c) eine völlig sinnfreie Aufgabe.
Bitte gib die dazugehörende Aufgabenstellung im Originalwortlaut an. Ganzrationale Funktionen besitzen grundsätzlich keine linearen Asymptoten. Entweder hast du also die falsche Funktionsgleichung untersucht, oder die Aufgabe lautet irgendwie anders. Üblich wäre etwa, dass nach dem Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches gefragt ist. Für diesen Fall gehst du im Falle [mm] x->\infty [/mm] so vor:
[mm] f(x)=-x^3-2x^2+5x-2=-x^3*(1+\bruch{2}{x}-\bruch{5}{x^2}+\bruch{2}{x^3})
[/mm]
Jetzt lässt man x gegen unendlich streben. Dabei nimmt die Klammer den Wert 1 an und es folgt sofort:
[mm] x\to\infty \Rightarrow f(x)\to{-\infty}
[/mm]
Wie sähe es demnach für [mm] x->-\infty [/mm] aus?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mo 13.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo,
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> > Ermitteln Sie die Asymptote folgender Funktion:
> >
> > [mm]y=-x^{3}-2x^{2}+5x-2[/mm]
> > Guten Mittag,
> >
> > nun beschäftigt mich dieser Ausdruck.
> >
> > [mm]y=-x^{3}-2x^{2}+5x-2[/mm]
> >
> > [mm]y=x^{3}+2x^{2}-5x+2[/mm]
> >
> >
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}-\infty^{3}-2\infty^{2}+5\infty-2=\infty[/mm]
> >
> >
> [mm]\limes_{-x\rightarrow\infty}-(-\infty)^{3}-2(-\infty)^{2}+5(-\infty)-2=-\infty[/mm]
> >
> > Ist das so korrekt?
>
> es ist
>
> a) falsch
> b) - wäre es denn richtig - völlig falsch aufgeschrieben
> (was tun die Unendlich-Symbole im Limes?)
> c) eine völlig sinnfreie Aufgabe.
>
> Bitte gib die dazugehörende Aufgabenstellung im
> Originalwortlaut an. Ganzrationale Funktionen besitzen
> grundsätzlich keine Asymptoten. Entweder hast du also die
> falsche Funktionsgleichung untersucht, oder die Aufgabe
> lautet irgendwie anders. Üblich wäre etwa, dass nach dem
> Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches gefragt
> ist. Für diesen Fall gehst du im Falle [mm]x->\infty[/mm] so vor:
>
> [mm]f(x)=-x^3-2x^2+5x-2=-x^3*(1+\bruch{2}{x}-\bruch{5}{x^2}+\bruch{2}{x^3})[/mm]
>
> Jetzt lässt man x gegen unendlich streben. Dabei nimmt die
> Klammer den Wert 1 an und es folgt sofort:
>
> [mm]x\to\infty \Rightarrow f(x)\to{-\infty}[/mm]
>
> Wie sähe es demnach für [mm]x->-\infty[/mm] aus?
>
> Gruß, Diophant
Hallo Diophant, danke das Du Dir die Zeit genommen hast. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:
Führen Sie eine Kurvendiskussion für die gegebene Funktion nach folgendem Schema durch. Definitionsbereich für x,Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, eventuell vorliegende Pole und Lücken, sowie Asymptote (Verhalten im Unendlichen)
[mm] y=-x^{3}-2x^{2}+5x-2
[/mm]
[mm] y=x^{3}+2x^{2}-5x+2
[/mm]
[mm] D:x\in\IR
[/mm]
Nullstellen:
Durch probieren:
[mm] x_{1}=1
[/mm]
Hornerschema:
Polynom verkleinert auf [mm] x^{2}+3x-2
[/mm]
[mm] x_{2,3}=-\bruch{3}{2}\pm\bruch{\wurzel{17}}{2}
[/mm]
Schnittpunkt y-Achse
[mm] -0^{3}-2*0^{2}+5*0-2=-2
[/mm]
Pole, Lücken
Da [mm] D:x\in\IR [/mm] keine Pole und Lücken
Asymptote ( Nach Deiner Erklärung, müsste das für mich zutreffen)
[mm] -x^3-2x^2+5x-2=-x^3*(1+\bruch{2}{x}-\bruch{5}{x^2}+\bruch{2}{x^3})
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}-\infty^3*(1+\bruch{2}{\infty}-\bruch{5}{\infty^2}+\bruch{2}{\infty^3})=-\infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}\infty^3*(1+\bruch{2}{(-\infty)}-\bruch{5}{(-\infty)^2}+\bruch{2}{(-\infty)^3})=\infty
[/mm]
Wenn es richtig sein sollte, verstehe ich aber leider nicht warum man die Polynomfunktion in diese Form umformen muss? Kannst Du mir das vielleicht in einfachen Worten erklären?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo,
> Führen Sie eine Kurvendiskussion für die gegebene
> Funktion nach folgendem Schema durch. Definitionsbereich
> für x,Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, eventuell
> vorliegende Pole und Lücken, sowie Asymptote (Verhalten im
> Unendlichen)
So wird jetzt ein Schuh daraus. 
Das mit den Polen und Lücken ist so richtig (hatten ir ja schon einmal).
> Asymptote ( Nach Deiner Erklärung, müsste das für mich
> zutreffen)
>
> [mm]-x^3-2x^2+5x-2=-x^3*(1+\bruch{2}{x}-\bruch{5}{x^2}+\bruch{2}{x^3})[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}-\infty^3*(1+\bruch{2}{\infty}-\bruch{5}{\infty^2}+\bruch{2}{\infty^3})=-\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}\infty^3*(1+\bruch{2}{(-\infty)}-\bruch{5}{(-\infty)^2}+\bruch{2}{(-\infty)^3})=\infty[/mm]
>
> Wenn es richtig sein sollte, verstehe ich aber leider nicht
> warum man die Polynomfunktion in diese Form umformen muss?
> Kannst Du mir das vielleicht in einfachen Worten
> erklären?
Ganz einfach: tut man es nicht, erhält man Ausdrücke der Form
[mm] \infty-\infty
[/mm]
Und die sind bekanntlich nicht definiert.
Was du oben wohl überlesen hast: du solltest nicht das Symbol für Unendlich schon im Limes verwenden, so wie du es tust. Unendlich ist keine Zahl, sondern das ist immer ein gedanklicher Übergang, den man da vollzieht. Man sagt ja nicht umsonst Grenzübergang dazu. Wenn du so willst, dann ist das Symbol [mm]lim[/mm] einfach eine Anweisung, diesen Grenzübergang zu vollziehen. Genauso, wie du bei 1+1=2 auf der rechten Seite kein Pluszeichen mehr schreibst (weil die Addition rechts ausgeführt ist), schreibt man bei so einer Grenzwertbetrachtung letztendlich bis auf Zwischenschritte links die Anweisung und rechts das Ergebnis hin. Und erst im Ergebnis wird, falls notwendig, das Symbol [mm] '\infty' [/mm] verwendet.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Mo 13.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
Hiermit möchte ich mich nochmal bei allen Beteiligten bedanken.
Gruß
mbau16
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend:
Ist eine Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] gegeben, so heißt eine Funktion $a: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] Asymptote von f, falls
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}(f(x)-a(x))=0 [/mm] oder [mm] \limes_{x\rightarrow - \infty}(f(x)-a(x))=0
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:53 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
> Ergänzend:
>
> Ist eine Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] gegeben, so heißt eine
> Funktion [mm]a: \IR \to \IR[/mm] Asymptote von f, falls
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(f(x)-a(x))=0[/mm] oder
> [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty}(f(x)-a(x))=0[/mm]
>
> FRED
wir haben das damals noch weiter unterteilt. Von einer Asymptote wurde nur für den Fall gesprochen, dass a(x) linear ist. Anderenfalls wurde a als asymptotische Näherungsfunktion bezeichnet.
Wirft man das mittlerweile in einen Topf (so wie ich mein Mittagessen heute )?
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:01 Mo 13.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
>
> > Ergänzend:
> >
> > Ist eine Funktion [mm]f: \IR \to \IR[/mm] gegeben, so heißt eine
> > Funktion [mm]a: \IR \to \IR[/mm] Asymptote von f, falls
> >
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}(f(x)-a(x))=0[/mm] oder
> > [mm]\limes_{x\rightarrow - \infty}(f(x)-a(x))=0[/mm]
> >
> > FRED
>
> wir haben das damals noch weiter unterteilt. Von einer
> Asymptote wurde nur für den Fall gesprochen, dass a(x)
> linear ist. Anderenfalls wurde a als asymptotische
> Näherungsfunktion bezeichnet.
>
> Wirft man das mittlerweile in einen Topf (so wie ich mein
> Mittagessen heute )?
Hallo Diophant,
wie so oft in der Mathematik: Bezeichnungen und Namen werden (leider) nicht einheitlich verwendet.
Gruß FRED
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:12 Mo 13.02.2012 | | Autor: | Diophant |
Hallo FRED,
danke für deine Rückmeldung. Du bist da näher dran am Geschehen, nehmen wir also deine Version.
Gruß&schönen Nachmittag,
Diophant
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