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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:16 So 12.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die Asymotpte der gegebenen Funktion:
[mm] y=\bruch{x^{3}}{x^{2}-4} [/mm] |
Guten Mittag,
habe eine Frage in Bezug auf die Wichtigkeit der folgenden Potenzen.
[mm] y=\bruch{x^{3}}{x^{2}-4}
[/mm]
Zählergrad>Nennergrad->Polynomdivision
[mm] x^{3}:(x^{2}-4)=x+\bruch{4x}{x^{2}-4}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \infty+\bruch{4\infty}{\infty^{2}-4}=???
[/mm]
Das Ergebnis ist doch unbestimmt, oder nicht?
Bin hier überfragt. Was ist hier das Ergebnis und was sagt mir das dann?
Vielen Dank!
Gruß
mbau16
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Hallo,
> Das Ergebnis ist doch unbestimmt, oder nicht?
>
> Bin hier überfragt. Was ist hier das Ergebnis und was sagt
> mir das dann?
Das 'Ergebnis' deiner obigen Grenzwertbertachtung ist eindeutig, nämlich [mm] \infty. [/mm] Nur: das interessiert dich hier überhaupt nicht. Gesucht ist die Gleichung der schrägen Asymptote, also eine Geradengleichung respektive eine lineare Funktion. Du solltest also nur diejenigen Teile aus der Funktionsgleichung auswerten, die gegen Null gehen, wenn x gegen Unendlich strebt. Daher ist auch die Limes-Schreibweise in meinen Augen hier ungeschickt.
Was dir wohl insbesondere Probleme gemacht hat, ist der echt gebrochen-rationale Anteil. Wenn du dort im Zähler und im Nenner x ausklammerst, durch x kürzt und erst dann den Grenzübergang vollziehst, dann siehst du leicht, dass dieser Bruch für [mm] |x|->\infty [/mm] gegen 0 strebt. Wenn man das alles dann so aufschreibt:
[mm]|x|\to\infty \Rightarrow f(x)\to{x}[/mm]
dann hat man die Asymptotengleichung im Prinzip als Grenzwert dastehen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:46 So 12.02.2012 | | Autor: | mbau16 |
> Hallo,
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> > Das Ergebnis ist doch unbestimmt, oder nicht?
> >
> > Bin hier überfragt. Was ist hier das Ergebnis und was sagt
> > mir das dann?
>
> Das 'Ergebnis' deiner obigen Grenzwertbertachtung ist
> eindeutig, nämlich [mm]\infty.[/mm] Nur: das interessiert dich hier
> überhaupt nicht. Gesucht ist die Gleichung der schrägen
> Asymptote, also eine Geradengleichung respektive eine
> lineare Funktion. Du solltest also nur diejenigen Teile aus
> der Funktionsgleichung auswerten, die gegen Null gehen,
> wenn x gegen Unendlich strebt. Daher ist auch die
> Limes-Schreibweise in meinen Augen hier ungeschickt.
>
> Was dir wohl insbesondere Probleme gemacht hat, ist der
> echt gebrochen-rationale Anteil. Wenn du dort im Zähler
> und im Nenner x ausklammerst, durch x kürzt und erst dann
> den Grenzübergang vollziehst, dann siehst du leicht, dass
> dieser Bruch für [mm]|x|->\infty[/mm] gegen 0 strebt. Wenn man das
> alles dann so aufschreibt:
Um Deine Antwort zu verallgemeinern, kann man also schließen, dass die höchste Potenz überwiegt, also wenn ich ohne jetzt auszuklammern [mm] \infty [/mm] durch [mm] \infty^{2} [/mm] teile strebt der Ausdruck gegen 0? Kann man das so festhalten?
> [mm]|x|\to\infty \Rightarrow f(x)\to{x}[/mm]
>
> dann hat man die Asymptotengleichung im Prinzip als
> Grenzwert dastehen.
>
>
> Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 So 12.02.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
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> Um Deine Antwort zu verallgemeinern, kann man also
> schließen, dass die höchste Potenz überwiegt, also wenn
> ich ohne jetzt auszuklammern [mm]\infty[/mm] durch [mm]\infty^{2}[/mm] teile
> strebt der Ausdruck gegen 0? Kann man das so festhalten?
Leider nein.
Die Asymptote einer gebrochen Rationalen Funktion ist der "nicht gebrochene" Teil, der nach der Polynomdivision entsteht.
Beispiele:
[mm] f(x)=\frac{x^{2}-2}{x^{2}-1}=1-\frac{1}{x^2-1}
[/mm]
Die Asymptote ist also [mm] a_{f}(x)=1
[/mm]
[mm] g(x)=\frac{x^{2}+2}{x+1}=x-1+\frac{3}{x+1}
[/mm]
Die Asymptote ist also [mm] a_{g}(x)=x-1
[/mm]
[mm] h(x)=\frac{1}{x^{2}-1}=0-\frac{1}{x^2-1}
[/mm]
Die Asymptote ist also [mm] a_{h}(x)=0
[/mm]
Marius
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