Asympt. d. Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Do 22.09.2005 | | Autor: | ThommyM |
Auf dem Weg zum zentralen Grenzwertsatz haben wir in der Vorlesung mit der Zähldichte der Binomialverteilung begonnen. Die lautet ja:
[mm]b_{n,p}(k)={n \choose k}p^k(1-p)^{n-k}[/mm]
Danach haben wir für k=0,...,n die Zähldichten in einem Histogramm dargestellt. Der Erwartungswert der Binomialverteilung ist ja n*p. Daher ist die höchste "Säule" des Histogramms ja bei [mm]k \approx np[/mm].
Anschließend haben wir gesagt, dass die maximale Höhe des Histogramms (dies ist ja dann wie gesagt bei [mm]k \approx np[/mm]) ungefähr [mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm]. Aber warum ist das so? Ich habe das mal für einige Beispiele nachgerechnet und es stimmt?
Ich habe auch versucht irgendwie über den Flächeninhalt zu gehen, aber ich komme nicht drauf. Ich hoffe mir kann jemand helfen!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Fr 23.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Mit der Stirlingschen Formel folgt, dass der maximale Wert ungefähr gleich
[mm] $\frac{n^n \cdot e^{-n} \cdot \sqrt{2 \pi n}}{(np)^{np} \cdot e^{-np} \cdot \sqrt{2\pi np} \cdot (n(1-p))^{n(1-p)} \cdot e^{-n(1-p)} \cdot \sqrt{2\pi n(1-p)}} \cdot p^{np} \cdot (1-p)^{n(1-p)} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{4p(1-p)}} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$
[/mm]
ist. Der Vorfaktor [mm] $\frac{1}{\sqrt{4p(1-p)}}$ [/mm] ist für $p$ in der Nähe von [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ungefähr gleich $1$. (Wichtig: Für $p$ in der Nähe von $0$ und $1$ stimmt die Betrachtung eben nicht mehr!)
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
