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| Aufgabe | | Gegeben sind eine arithmetische Folge [mm] a_{i} [/mm] und eine geometrische Folge [mm] b_{i}, [/mm] die beide streng monoton wachsen und für die gilt, dass [mm] a_{1}=b_{1} [/mm] und [mm] a_{2}=b_{2} [/mm] ist. Man zeige, dass für alle n>2 [mm] a_{n} |
Meine Frage ist jetzt eigentlich ob ich für den Beweis einen Induktionsbeweis machen muss oder reicht es einfach zu zeigen, dies für alle [mm] a_{gilt}.
[/mm]
arithmetische Folge: [mm] a_{k}=a_{1}+k
[/mm]
geometrische Folge: [mm] b_{i}=b_{1}*q^{i}
[/mm]
monoton wachsend: k>0 und q>1
anderen zwei Bedingungen: [mm] a_{1}=b_{1} [/mm] und [mm] k=a_{1}*(q-1)
[/mm]
und aus [mm] a_{n}
und das ist klar weil ich [mm] q^{n} [/mm] taylorentwickeln kann...
Somit brauche ich keinen Induktionsbeweis, weil ich es ja sowieso für alle zeigen kann oder?
DANKE für die Hilfe!!
lg
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Hallo ma_graz,
unterschlägst Du uns einen Teil der Aufgabenstellung?
> Gegeben sind eine arithmetische Folge [mm]a_{i}[/mm] und eine
> geometrische Folge [mm]b_{i},[/mm] die beide streng monoton wachsen
> und für die gilt, dass [mm]a_{1}=b_{1}[/mm] und [mm]a_{2}=b_{2}[/mm] ist.
> Man zeige, dass für alle n>2 [mm]a_{n}
Sei [mm] a_1=b_1=-2 [/mm] und [mm] a_2=b_2=-1.
[/mm]
Fertig. Da stimmts schon ab n=3 nicht.
> Meine Frage ist jetzt eigentlich ob ich für den Beweis
> einen Induktionsbeweis machen muss oder reicht es einfach
> zu zeigen, dies für alle [mm]a_{gilt}.[/mm]
>
> arithmetische Folge: [mm]a_{k}=a_{1}+k[/mm]
Das ist nicht allgemein genug. [mm] a_k=a_1+(k-1)*d
[/mm]
Damit klappts dann nicht so einfach.
Jedenfalls sollten alle Folgenglieder beider Folgen positiv sein, siehe mein Gegenbeispiel oben.
Grüße
reverend
> geometrische Folge: [mm]b_{i}=b_{1}*q^{i}[/mm]
>
> monoton wachsend: k>0 und q>1
> anderen zwei Bedingungen: [mm]a_{1}=b_{1}[/mm] und [mm]k=a_{1}*(q-1)[/mm]
>
> und aus [mm]a_{n}
> und das ist klar weil ich [mm]q^{n}[/mm] taylorentwickeln kann...
> Somit brauche ich keinen Induktionsbeweis, weil ich es ja
> sowieso für alle zeigen kann oder?
> DANKE für die Hilfe!!
>
> lg
>
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Also die Aufgabenstellung scheint schon im Buch fehlerhaft zu sein. Du hast recht, dass a1 und b1 >= 0 sein müssen. sonst macht es keinen sinn.
dann handelt es sich oben nur um einen tippfehler. ich habe schon die richtige arithmetische Folge verwendet. also allgemeines d und nicht d=1.
Induktionsbeweis brauche ich aber trotzdem keinen machen. Es für alle n direkt zu zeigen reicht oder?
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Hallo nochmal,
wenn mans direkt zeigen kann, braucht man keine Induktion.
Es sollte dann nur auch ersichtlich sein, dass [mm] a_inicht gilt, aber sonst immer.
Grüße
reverend
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also ich habe jetzt noch einmal alles gecheckt und erhalte für [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] die gleichung 1+m*q-m < [mm] q^{m} [/mm] wobei m=2,3,... und q>1 ist.
Ich hänge jetzt etwas an dieser stelle. für mich ist die ungleichung intuitiv ersichtlich, aber wie zeige ich das jetzt formal richtig?
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Hallo,
wenn mich nicht alles täuscht, dann kann man da die Bernoulli-Ungleichung darauf loslassen.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Fr 08.03.2013 | | Autor: | abakus |
> also ich habe jetzt noch einmal alles gecheckt und erhalte
> für [mm]a_{n}[/mm] < [mm]b_{n}[/mm] die gleichung 1+m*q-m < [mm]q^{m}[/mm] wobei
> m=2,3,... und q>1 ist.
Hallo,
wenn man deine Ungleichung weiter umformt, erhält man
[mm] m(q-1)<$q^m-1$ [/mm] und damit [mm] $m<\frac{q^m-1}{q-1}$, [/mm] was äquivalent zu
[mm] m<1+q+$q^2$+...+$q^{m-1}$ [/mm] ist.
Hilft das?
Gruß Abakus
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> Ich hänge jetzt etwas an dieser stelle. für mich ist die
> ungleichung intuitiv ersichtlich, aber wie zeige ich das
> jetzt formal richtig?
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