Arithmetische Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe 1 | Berechnen Sie die Summe der nachfolgenden Zahlen:
e)Alle positiven ganzen Zahlen von je vier Ziffern, welche auf 2 oder 7 enden. |
| Aufgabe 2 | Berechnen Sie die nachfolgenden Summen:
b) [mm] \summe_{k=10}^{70}(7k-2) [/mm] |
Guten Abend.
Ich behandle derzeitg Arithmetische Folgen.
Für Aufgabe 1 würde ich euch bitten, mir nur einen kleinen Tip zu geben, da ich gerne selbst auf die Lösung kommen möchte.
Bei Aufgabe 2 bin ich mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe richtig berechnet habe.
Aufgabe 1:
Man soll alle positiven, ganzen Zahlen bestehend aus vier Ziffern und auf 2 oder 7 enden zueinander addieren.
1002,1007,1012,1017,1022,1027 etc.
Vier Ziffern haben alle Zahlen von 1000-9999. Daher wird dies wahrscheinlich der Bereich sein, für den die Summe definiert sein muss.
Zwischen 2 und 7 beträgt der Abstand 5.
Das Problem besteht darin, dass ich ja als Index alle Zahlen zwischen 1000 und 9999 angeben muss, ich jedoch nur jene addieren möchte, die auf 2 und 7enden.
Und hier hänge ich gerade etwas.
Im Kopf schwirrt mir gerade folgendes:
Ich verkleinere das zu betrachtende Intervall, welches ich addiere auf 1-100.
Hierbei nehme ich dann die jeweils größte Zahl, die auf 7 endet und die jeweils kleinste Zahl die auf 2 endet. Also im Prinzip so wie Gauß es tat.
97 92 87 82 77 72
2 7 12 17 22 27
99+99+99+99+99 usw.
Hier erhalte ich den Wert [mm] (a_{97}+a_{2})= [/mm] 99
D.h ich addiere hier jeweils 99 von k bis n und teile dies natürlich später durch 2, da ich ja nicht 2 Folgen summiere, sondern nur 1.
Nun liegt das Problem dabei zu bestimmen, wie oft ich eben 99 mit 99 addiere.
Gauß addierte jedes n miteinander, weswegen er [mm] \bruch{1}{2}n(a_{n}+a_{1}) [/mm] folgerte.
In diesem speziellen Fall jedoch addiert man pro Zehnerreihe 2 Spalten miteiander. Pro Hunderterreihe wären das 9*12 Spalten= 18.
Pro Tausenderreihe wären das 9*18 Spalten=162 , wenn ich mich nicht irre. Und das führt man dann fort bis 9999, was abder bisschen umständlich ist.
Liege ich bisher überhaupt auf dem richtigen Weg? Verzeiht wenn ich etwas komisch schreibe, aber die Müdigkeit gewinnt an Überhand.
Zu Aufgabe 2:
Hier bin ich einfach vorgegeangen wie Gauß es tat.
[mm] 10=a_{1} [/mm] (7*10-2)=68
[mm] 70=a_{n} [/mm] (7*70-2)=498
498+68=556
[mm] \bruch{1}{2}n*(a_{n}+a_{1})
[/mm]
Laute ja die Gauß-Formel.
In diesem Beispiel steht halt statt k vor dem Sigma ein (7k-2), weshalb ich doch eigentlich nach dem gleichen Prinzip verfahren kann, oder?
Das einzige, was mich stört ist eben das n vor der Klammer.
Denn der Abstand zwischen 10 und 70 beträgt nicht 70, sondern 60.
Stellt man sich zwei Reihen vor in denen jeweils die einzelnen Glieder der Summe stehen, so fängt die eine Reihe ja nicht bei 5 (7*1-2)an und die andere hört bei 5 auf, sondern eben bei 68 (7*10-2).
Habe ich die Rechnung so richtig verstanden?
Ich würde somit auf [mm] \bruch{566*60}{2} [/mm] kommen = 16980.
Ich danke euch im Voraus und wünsche eine gute Nacht.
Bitte verzeiht mir Rechtschreibfehler etc, ich wollte das einfach hinter mich bringen, weil mich die Frage gerade beschäftigt :).
Lg
|
|
| |
|
Huhu,
du hast viel geschrieben...... und damit eindeutig viel zu umständlich 
Zu Aufgabe 1:
Überzeuge dich davon, dass sich alle deine Zahlen in der Form
1002 + 5k
darstellen lassen. Nun musst du nur überlegen, wie der Bereich für dein k Aussieht.
Zu Aufgabe 2:
Hier zwei Tipps, zum Einen gilt:
$ [mm] \summe_{k=a}^{b}(7k-2) [/mm] = [mm] 7*\summe_{k=a}^{b}k [/mm] - [mm] \summe_{k=a}^{b}2 [/mm] = [mm] 7*\summe_{k=a}^{b}k [/mm] - (b+1-a)*2$
Zum anderen wäre hier eine Nahrhafte Null hilfreich, mal an einem anderen Beispiel:
[mm] $\summe_{k=5}^{10}k [/mm] $
Bei dieser Summe kannst du ja nun nur schwer die Gaußsche Formel anwenden. Was fehlt uns dafür? Nunja, die ersten 4 Glieder, also nehmen wir diese doch einfach dazu
[mm] $\summe_{k=5}^{10}k [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{4}k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{10}k$
[/mm]
Damit es nun aber gleich bleibt, müssen wir das wieder abziehen, also gilt dann:
[mm] $\summe_{k=5}^{10}k [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{10}k [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{4}k [/mm] = [mm] \bruch{10*11}{2} [/mm] + [mm] \bruch{4*5}{2} [/mm] = 55 + 10 = 65$
Ich hoffe du kannst diese Hinweise nun geeignet verwenden 
MFG,
Gono.
|
|
|
|
