Argumentation Vielfaches < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
Ich versuche einen Beweis nachzuvollziehen und kann der Argumentation teilweise nicht folgen.
Es ist die Gleichung
[mm] x=Ax+\alpha (e_n^T x)e_n
[/mm]
gegeben. Dabei ist A eine nxn Matrix, x ein Eigenvektor und [mm] e_n [/mm] der n-te kartesische Einheitsvektor. Es wurde gezeigt, dass alle Eigenwerte von A in (-1,1) liegen.
Jetzt wird argumentiert, dass deshalb die Matrix A-I invertierbar sei. Ich weiß, dass eine Matrix invertierbar ist wenn alle Eigenwerte von Null verschieden sind. Aber ich kann nicht ganz nachvollziehen warum die Eigenwerte von A-I diese Eigenschaft erfüllen sollten. Mit I ist übrigens die Einheitsmatrix bezeichnet.
Und dann geht es weiter, in dem daraus geschlossen wird, dass (A-I)v ein Vielfaches von [mm] e_n [/mm] ist und auch noch von Null verschieden ist... Das kann ich leider auch nicht nachvollziehen.
Vielleicht versteht hier ja jemand die Argumentation. Ich bin über jede Hilfe dankbar.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:24 Di 06.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> Ich versuche einen Beweis nachzuvollziehen und kann der
> Argumentation teilweise nicht folgen.
> Es ist die Gleichung
> [mm]x=Ax+\alpha (e_n^T x)e_n[/mm]
> gegeben. Dabei ist A eine nxn
> Matrix, x ein Eigenvektor und [mm]e_n[/mm] der n-te kartesische
> Einheitsvektor. Es wurde gezeigt, dass alle Eigenwerte von
> A in (-1,1) liegen.
> Jetzt wird argumentiert, dass deshalb die Matrix A-I
> invertierbar sei. Ich weiß, dass eine Matrix invertierbar
> ist wenn alle Eigenwerte von Null verschieden sind. Aber
> ich kann nicht ganz nachvollziehen warum die Eigenwerte von
> A-I diese Eigenschaft erfüllen sollten. Mit I ist
> übrigens die Einheitsmatrix bezeichnet.
Nimm mal an, A-I wäre nicht invertierbar. Dann ex. ein x [mm] \ne [/mm] 0 mit (A-I)x=0.
Die Gl. (A-I)x=0 bedeutet aber gerade Ax=x. Damit wäre 1 ein Eigenwert von A, Widerspruch.
> Und dann geht es weiter, in dem daraus geschlossen wird,
> dass (A-I)v ein Vielfaches von [mm]e_n[/mm] ist und auch noch von
> Null verschieden ist... Das kann ich leider auch nicht
> nachvollziehen.
Ich auch nicht, solange Du verheimlichst, was das v nun ist .......
FRED
> Vielleicht versteht hier ja jemand die Argumentation. Ich
> bin über jede Hilfe dankbar.
|
|
|
| |
|
Nimm mal an, A-I wäre nicht invertierbar. Dann ex. ein x $ [mm] \ne [/mm] $ 0 mit (A-I)x=0.
Die Gl. (A-I)x=0 bedeutet aber gerade Ax=x. Damit wäre 1 ein Eigenwert von A, Widerspruch.
Achja super, sorum habe ich jetzt verstanden. Vielen Dank dafür.
Anstatt v meinte ich x.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:25 Mi 07.10.2015 | | Autor: | hippias |
Nachdem das mit dem $v$ geklaert ist zur Frage, warum $Ax-x$ ein Vielfaches von [mm] $e_n$ [/mm] ist: Gehe von der Gleichung [mm] $x=Ax+\alpha e_n^{t}xe_n$ [/mm] aus. Du erhaelst das Resultat, wenn Du sie nach $Ax-x$ umstellst und Dir klarmachst, welchen Typs [mm] $e_n^{t}x$ [/mm] eigentlich ist.
|
|
|
| |
|
Ja, [mm] e_n^Tx [/mm] ist natürlich ein Skalar. Und zwar die letzte Komponente des Eigenvektors und da vorher schon bewiesen wurde, dass diese ungleich Null ist, ist es natürlich ein von Null verschiedenes Vielfaches. Super! Vielen Dank.
|
|
|
|
