Areafunktional konvex < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich muss zeigen, dass das Flächeninhaltfunktional [mm] $$A(f)=\int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla f|^2} [/mm] dudv$$ strikt konvex ist, d.h.
[mm] $A(tf_1+(1-t)f_2) [/mm] < [mm] tA(f_1)+(1-t)A(f_2) \qquad \forall t\in [/mm] 0,1)$
Dies sieht prinzipiell nicht schwer aus, jedoch komme ich an einer Stelle einfach nicht weiter:
Ich fange mal rechts an:
[mm] $tA(f_1)+(1-t)A(f_2)$
[/mm]
$= [mm] t*\int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla f_1|^2} [/mm] dudv+ (1-t) [mm] \int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla f_2|^2} [/mm] dudv$
[mm] $=\int_{\Omega} \wurzel{t+t|\nabla f_1|^2} [/mm] dudv+ [mm] \int_{\Omega} \wurzel{1-t+(1-t)|\nabla f_2|^2} [/mm] dudv$
$> [mm] \int_{\Omega} \wurzel{t+t|\nabla f_1|^2 + 1-t+(1-t)|\nabla f_2|^2} [/mm] dudv$
( [mm] \wurzel{a}+\wurzel{b}>\wurzel{a+b} [/mm] das müsste so gelten, oder?)
[mm] $=\int_{\Omega} \wurzel{1+t|\nabla f_1|^2 +(1-t)|\nabla f_2|^2} [/mm] dudv$
Soweit sieht das ja ganz gut aus, jetzt zuerst mal die linke Seiter der Gleichung:
[mm] $A(tf_1+(1-t)f_2)$
[/mm]
[mm] $=\int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla(t* f_1 +(1-t) f_2|^2} [/mm] dudv$
[mm] $=\int_{\Omega} \wurzel{1+|t\nabla f_1 +(1-t) \nabla f_2|^2} [/mm] dudv$
Und jetzt kommt mein Problem, wenn ich nun die Dreicksungleichung anwende ist das Ungleichheitszeichen verkehrt, denn
[mm] $|t\nabla f_1 [/mm] +(1-t) [mm] \nabla f_2|^2 \ge t^2|\nabla f_1|^2 [/mm] + [mm] (1-t)^2 |\nabla f_2|^2$
[/mm]
Irgendwie sehe ich den "Trick" nicht. Und das [mm] t\in [/mm] (0,1) habe ich auch noch nicht ausgenutzt....
Danke,
viele Grüße!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Do 04.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo,
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> ich muss zeigen, dass das Flächeninhaltfunktional
> [mm]A(f)=\int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla f|^2} dudv[/mm] strikt
> konvex ist, d.h.
> [mm]A(tf_1+(1-t)f_2) < tA(f_1)+(1-t)A(f_2) \qquad \forall t\in 0,1)[/mm]
>
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> Dies sieht prinzipiell nicht schwer aus, jedoch komme ich
> an einer Stelle einfach nicht weiter:
>
> Ich fange mal rechts an:
>
> [mm]tA(f_1)+(1-t)A(f_2)[/mm]
>
> [mm]= t*\int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla f_1|^2} dudv+ (1-t) \int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
>
> [mm]=\int_{\Omega} \wurzel{t+t|\nabla f_1|^2} dudv+ \int_{\Omega} \wurzel{1-t+(1-t)|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
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> [mm]> \int_{\Omega} \wurzel{t+t|\nabla f_1|^2 + 1-t+(1-t)|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
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> ( [mm]\wurzel{a}+\wurzel{b}>\wurzel{a+b}[/mm] das müsste so gelten,
> oder?)
>
> [mm]=\int_{\Omega} \wurzel{1+t|\nabla f_1|^2 +(1-t)|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
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> Soweit sieht das ja ganz gut aus, jetzt zuerst mal die
> linke Seiter der Gleichung:
>
> [mm]A(tf_1+(1-t)f_2)[/mm]
>
> [mm]=\int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla(t* f_1 +(1-t) f_2|^2} dudv[/mm]
>
> [mm]=\int_{\Omega} \wurzel{1+|t\nabla f_1 +(1-t) \nabla f_2|^2} dudv[/mm]
>
> Und jetzt kommt mein Problem, wenn ich nun die
> Dreicksungleichung anwende ist das Ungleichheitszeichen
> verkehrt, denn
>
> [mm]|t\nabla f_1 +(1-t) \nabla f_2|^2 \ge t^2|\nabla f_1|^2 + (1-t)^2 |\nabla f_2|^2[/mm]
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> Irgendwie sehe ich den "Trick" nicht. Und das [mm]t\in[/mm] (0,1)
> habe ich auch noch nicht ausgenutzt....
>
>
> Danke,
> viele Grüße!
Hallo, leider habe ich nicht viel Zeit! In Deiner zweiten Gleichung, in der Du das $t$ ins Integral (und sogar in die Wurzel) gezogen hast, hast Du die Quadrate vergessen.
Vielleicht hilft Dir das schon weiter.
Gruss Denny
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Hallo und danke, da hast du natürlich recht. Ich habe es mal hier verbessert. Leider ändert dies nichts an dem eigentlichen Problem:
Ich fange mal rechts an:
[mm]tA(f_1)+(1-t)A(f_2)[/mm]
[mm]= t*\int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla f_1|^2} dudv+ (1-t) \int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
[mm]=\int_{\Omega} \wurzel{t^2+t^2|\nabla f_1|^2} dudv+ \int_{\Omega} \wurzel{(1-t)^2+(1-t)^2|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
[mm]> \int_{\Omega} \wurzel{t^2+t|\nabla f_1|^2 + 1-2t+t^2+(1-t)^2|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
( [mm]\wurzel{a}+\wurzel{b}>\wurzel{a+b}[/mm] das müsste so gelten, oder?)
[mm]=\int_{\Omega} \wurzel{1+\red{2t(t-1)}+t^2|\nabla f_1|^2 +(1-t)^2|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
Soweit sieht das ja ganz gut aus, jetzt zuerst mal die linke Seite der Gleichung:
[mm]A(tf_1+(1-t)f_2)[/mm]
[mm]=\int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla(t* f_1 +(1-t) f_2|^2} dudv[/mm]
[mm]=\int_{\Omega} \wurzel{1+|t\nabla f_1 +(1-t) \nabla f_2|^2} dudv[/mm]
[mm]=\int_{\Omega} \wurzel{1+t^2|\nabla f_1|^2+ \red{ 2t(1-t)\nabla f_1 \nabla f_2 }+(1-t) ^2|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
Jetzt passt es fast, bis auf den rot markierten Teil.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 Do 04.06.2009 | | Autor: | Denny22 |
> Hallo und danke, da hast du natürlich recht. Ich habe es
> mal hier verbessert. Leider ändert dies nichts an dem
> eigentlichen Problem:
>
>
> Ich fange mal rechts an:
>
> [mm]tA(f_1)+(1-t)A(f_2)[/mm]
>
> [mm]= t*\int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla f_1|^2} dudv+ (1-t) \int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
>
>
> [mm]=\int_{\Omega} \wurzel{t^2+t^2|\nabla f_1|^2} dudv+ \int_{\Omega} \wurzel{(1-t)^2+(1-t)^2|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
>
>
> [mm]> \int_{\Omega} \wurzel{t^2+t|\nabla f_1|^2 + 1-2t+t^2+(1-t)^2|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
>
> ( [mm]\wurzel{a}+\wurzel{b}>\wurzel{a+b}[/mm] das müsste so gelten,
> oder?)
>
> [mm]=\int_{\Omega} \wurzel{1+\red{2t(t-1)}+t^2|\nabla f_1|^2 +(1-t)^2|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
>
>
> Soweit sieht das ja ganz gut aus, jetzt zuerst mal die
> linke Seite der Gleichung:
>
> [mm]A(tf_1+(1-t)f_2)[/mm]
>
> [mm]=\int_{\Omega} \wurzel{1+|\nabla(t* f_1 +(1-t) f_2|^2} dudv[/mm]
>
>
> [mm]=\int_{\Omega} \wurzel{1+|t\nabla f_1 +(1-t) \nabla f_2|^2} dudv[/mm]
>
>
> [mm]=\int_{\Omega} \wurzel{1+t^2|\nabla f_1|^2+ \red{ 2t(1-t)\nabla f_1 \nabla f_2 }+(1-t) ^2|\nabla f_2|^2} dudv[/mm]
>
>
>
> Jetzt passt es fast, bis auf den rot markierten Teil.
>
Naja, für den rot markierten Teil müsstest Du
[mm] $2t(t-1)>2t(1-t)|\nabla f_1\cdot\nabla f_2|\quad\forall\,t\in[0,1]$
[/mm]
zeigen (Du hast überings die Beträge vergessen und in der 4. Zeile fehlt nach wie vor ein Quadrat). Ich versuchs mal:
[mm] $2t(t-1)>2t(1-t)|\nabla f_1\cdot\nabla f_2|$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow 2t(t-1)-2t(1-t)|\nabla f_1\cdot\nabla f_2|>0$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow 2t(t-1)\cdot(1+|\nabla f_1\cdot\nabla f_2|)>0$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow 2t(t-1)>\frac{0}{1+|\nabla f_1\cdot\nabla f_2|}=0$
[/mm]
[mm] $\Longleftrightarrow [/mm] 2t(t-1)>0$
Da die letzte Aussage für [mm] $t\in[0,1]$ [/mm] allerdings nicht gilt, kann die geforderte (bzw. zu zeigende) Ungleichung nicht gelten. Bist Du Dir sicher, dass das Funktional konvex ist?
Gruß Denny
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Hmm, das ist wirklich merkwürdig. Also die Aufgabenstellung sollte schon stimmen, d.h. das Funktional ist konvex.
Vielleicht habe ich schon zu Beginn den Ausdruck [mm] A(tf_1+(1-t)f_2) [/mm] falsch interpretiert?
Oder die Abschätzung mit der Wurzel ist zu scharf?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 So 07.06.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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