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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:17 Do 20.01.2005 | | Autor: | VHN |
hallo, Leute!
Ich soll hier bei einer Aufgabe zeigen, dass
arctan x = x + [mm] O(x^{3}) [/mm] für x [mm] \to [/mm] 0 ist.
Aber ich weiß nicht wirklich, wie ich vorgehen soll!
Wie sieht der arctan x überhaupt aus?
Ich weiß ja, dass
tan x = [mm] \bruch{sin x}{cos x} [/mm] = i [mm] \bruch{e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}} [/mm] ist.
Aber wie kann ich nach x auflösen, so dass ich dann die Umkehrfunktion erhalte?
Ich bitte um Hilfe oder Tipps! Danke schön!
Ciao!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 Do 20.01.2005 | | Autor: | Marle |
Hallo,
[mm]arctan = \bruch{cosx}{sinx} [/mm]
vielleicht hilft dir das weiter!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:33 Do 20.01.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hi Marle,
hast Du Dein Posting genau gelesen, bevor Du es abgeschickt hast?
Du hast eine Formel für den Cotangens (vulgo: cot) geliefert, nicht für den Arcustangens.
Gruß
Peter
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Hi VHN,
der Bruch den Du da stehen hast, sieht schlimm aus, ist es aber nicht.
Mit [mm] $z=e^{i*x}$ [/mm] erhältst Du [mm] $tan(x)*(z^2+1)=i*(z^2-1)$. [/mm] Das sollte sich doch nach z auflösen lassen!?!
Ich erlaube mir mal ausnahmsweise die Darstellung des $arctan$ durch Logarithmen anzugeben - es gibt danach noch genug zu tun für einen Newbie:
[mm] $arctan(x)=\bruch{1}{2}*i*(ln(1-i*x)-ln(1+i*x))$.
[/mm]
Jetzt brauchst Du eigentlich nur noch Ableitungsregeln, [mm] $\bruch{d}{dx}ln(x)=\bruch{1}{x}$ [/mm] und das esoterische Wissen um die Taylor- oder Potenzreihenentwicklung, sowie die Information, dass mit [mm] $O(x^{3})$ [/mm] gemeint ist, das dieser $O$-Ausdruck mit einem konstanten K wächst wie [mm] $K*x^{3}$ [/mm] (Literatur (besser: Skript): Landau-Symbole).
Nach der ersten Ableitung sollte sich alles wieder in vertrauten Bahnen abspielen.
Viel Erfolg,
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Do 20.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Danke für deine Hilfe, Peter!
Ich habe versucht, deine Anweisungen zu befolgen, aber ich bin leider auf kein richtiges Ergebnis gekommen.
So bin ich vorgegangen:
Ich habe, wie du gesagt hast, substituiert: z = [mm] e^{ix}
[/mm]
Dann erhalte ich:
tan x = i [mm] \bruch{z^{2}-1}{z^{2}+1}
[/mm]
Ich kann doch hier statt tanx doch y schreiben, oder?
Dann löse ich nach z auf:
Ich habe das selbe wie du rausbekommen, bis auf eines:
(...rechnen)
Rücksubstitution:
[mm] e^{2ix} [/mm] = - [mm] \bruch{y+i}{y-i}
[/mm]
2ix = ln (- [mm] \bruch{y+i}{y-i})
[/mm]
x = [mm] \bruch{1}{2i} [/mm] [(ln(1-ix) - ln(1+ix)]
Bei mir steht das i im Nenner und nicht im Zähler. Aber vielleicht hab ich mich auch nur verrechnet. Aber wo ist der Fehler. Ich seh ihn nämlich nicht.
Wenn ich mit meinem Ergebnis das Taylorpolynom aufstelle, kommt nicht das richtige raus.
Daraus schließe ich, dass mein Fehler schon oben liegt, aber ich weiß nicht wo.
Stimmt das: Taylor:
f(x) = f(0) + f´(0) (x-0) + [mm] \bruch{f´´(0)}{2!}(x-0)^2 [/mm] + ...
Wenn ja, komm ich mit meinem Ergebnis bei f´(0) nicht auf x, sondern -x.
Kannst du mir bitte helfen. Vielleicht hast du ja gesehen, wo mein Fehler liegt.
Ich hab noch nicht ganz verstanden, wie ich dann davon auf die Darstellung mit [mm] O(x^{3}) [/mm] komme.
Danke für deine Hilfe! Tut mir leid für die vielen Fragen!
Ciao! 
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> Hallo!
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> Danke für deine Hilfe, Peter!
> Ich habe versucht, deine Anweisungen zu befolgen, aber ich
> bin leider auf kein richtiges Ergebnis gekommen.
>
> So bin ich vorgegangen:
> Ich habe, wie du gesagt hast, substituiert: z = [mm]e^{ix}
[/mm]
> Dann erhalte ich:
> tan x = i [mm]\bruch{z^{2}-1}{z^{2}+1}
[/mm]
> Ich kann doch hier statt tanx doch y schreiben, oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Dann löse ich nach z auf:
> Ich habe das selbe wie du rausbekommen, bis auf eines:
> (...rechnen)
> Rücksubstitution:
> [mm]e^{2ix} = -\bruch{y+i}{y-i}
[/mm]
> 2ix = ln (- [mm]\bruch{y+i}{y-i})
[/mm]
Da war leider ein Vorzeichenfehler in meiner Antwort. Es hätte fort heißen müssen:$ [mm] tan(x)\cdot{}(z^2+1)=$[red]-[/red]$i\cdot{}(z^2-1) [/mm] $
> x = [mm]\bruch{1}{2i}[/mm] [(ln(1-ix) - ln(1+ix)]
>
> Bei mir steht das i im Nenner und nicht im Zähler. Aber
> vielleicht hab ich mich auch nur verrechnet. Aber wo ist
> der Fehler. Ich seh ihn nämlich nicht.
> Wenn ich mit meinem Ergebnis das Taylorpolynom aufstelle,
> kommt nicht das richtige raus.
> Daraus schließe ich, dass mein Fehler schon oben liegt,
> aber ich weiß nicht wo.
Es ist Deine Vertrauensseeligkeit 
>
> Stimmt das: Taylor:
> [mm] f(x) = f(0) + f'(0) (x-0) + \bruch{f''(0)}{2!}(x-0)^2 + \cdots[/mm]
> Wenn ja, komm ich mit meinem Ergebnis bei f'(0) nicht auf
> x, sondern -x.
>
> Kannst du mir bitte helfen. Vielleicht hast du ja gesehen,
> wo mein Fehler liegt.
Zuviel Respekt vor'm Alter (braves Kind ![[bindafuer]](/images/smileys/bindafuer.gif "[bindafuer]") )
> Ich hab noch nicht ganz verstanden, wie ich dann davon auf
> die Darstellung mit [mm]O(x^{3})[/mm] komme.
Dazu noch den nächsten Summanden der Taylor-Entwicklung bestimmen und zeigen, dass er die Form [mm] $k*(x-0)^{3}$ [/mm] mit einer Konstanten $k [mm] \not=0$ [/mm] hat, denn für $k=0$ hätten wir ja [mm] $o(x^{3})$ [/mm] und nicht [mm] $O(x^{3})$.
[/mm]
> Danke für deine Hilfe! Tut mir leid für die vielen
> Fragen!
dafür gibt's diese Website
> Ciao!
Mach's gut,
Peter
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