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| Aufgabe | | Zeigen Sie unter Verwendung des archimedischen Prinzips, dass jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge der ganzen Zahlen [mm] \IZ [/mm] ein größtes Element besitzt. |
Mir ist es selber etwas peinlich, dass ich nicht einmal eine gewisse Ahnung davon habe, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Irgendwie habe ich dabei ein Brett vor'm Kopf.
Es wäre nett, wenn mir jemand einen Denkanstoss liefern könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:09 So 04.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie unter Verwendung des archimedischen Prinzips,
???
> dass jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge der
> ganzen Zahlen [mm]\IZ[/mm] ein größtes Element besitzt.
Tauche sie ins Wasser und miss den Auftrieb.
> Mir ist es selber etwas peinlich, dass ich nicht einmal
> eine gewisse Ahnung davon habe, wie ich an diese Aufgabe
> herangehen soll. Irgendwie habe ich dabei ein Brett vor'm
> Kopf.
> Es wäre nett, wenn mir jemand einen Denkanstoss liefern
> könnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:12 So 04.11.2012 | | Autor: | Pflaume007 |
Ja, das habe ich zuerst auch gedacht. :D
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Hallo Pflaume,
also... ich hasse es, mit nassen Mengen zu hantieren. 
Schau lieber erstmal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 Mo 05.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Pflaume007,
sei also [mm] $\emptyset\not=M\subseteq\IZ$ [/mm] nach oben beschränkt.
Wir wollen zeigen, dass M ein größtes Element hat.
Dazu schlage ich folgende Schritte vor:
(Bei mir gehört die 0 zu den natürlichen Zahlen.)
1. Überlege, dass wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit [mm] $0\in [/mm] M$ annehmen dürfen.
Für dieses "Verschiebungs"-Argument wähle ein beliebiges [mm] $m\in [/mm] M$ (existiert, da [mm] $\emptyset\not=M$) [/mm] und betrachte [mm] $M-m:=\{m'-m\;|\;m'\in M\}$.
[/mm]
Der Sinn dieser Überlegung ist, dass wir uns bei der Suche nach dem größten Element auf die natürlichen Zahlen beschränken können.
2. Sei [mm] N:=\{n\in\IN\;|\;n\text{ obere Schranke von }M\}. [/mm] Zeige mit dem Archimedischen Axiom und der Beschränktheit nach oben von M, dass [mm] $N\not=\emptyset$ [/mm] gilt.
Als nichtleere Teilmenge der Menge natürlichen Zahlen hat N ein kleinstes Element n.
3. Zeige (oder glaube ) folgende Hilfsbehauptung: Sind k und l ganze Zahlen mit k>l, so folgt [mm] $k\ge [/mm] l+1$.
Nimm dazu $k<l+1$ an und folgere $0<k-l<1$. Folgere [mm] $k-l\in\IN$ [/mm] und zeige im Widerspruch dazu per Induktion nach i, dass [mm] $i\not=k-l$ [/mm] für alle [mm] $i\in\IN$ [/mm] gilt.
4. Zeige [mm] $n\in [/mm] M$ per Widerspruchsbeweis, indem du unter Nutzung der Hilfsbehauptung 3. zeigst, dass im Falle [mm] $n\not\in [/mm] M$ auch [mm] $n-1\in [/mm] N$ gilt, was der Minimalität von n widerspricht.
Somit ist n als Element von M, das obere Schranke von M ist, größtes Element von M.
Viele Grüße
Tobias
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