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| Aufgabe | wie lang ist die erste Windung [mm] (0\le [/mm] t [mm] \le 2\pi) [/mm] der archimedischen Spirale mit der Parameterdarstellung (x(t),y(t))=(t*cos(t),t*sin(t))
(Lösung: [mm] s(t)=\integral_{}^{}{\sqrt {(1-a^{2})} da} [/mm] = (t/2)* [mm] \sqrt {(1+t^{2})} [/mm] + (1/2)arcsinh(t) ) |
Hallo liebe Freunde der Mathematik :)
ich hätte wieder einmal eine kleine Frage an euch:
gegeben habe ich ja hier eine Darstellung einer archimedischen Spirale. Gefragt ist offensichtlich nach der Bogenlänge
[mm] s(t)=\integral_{a}^{b}{\sqrt{(x')^{2}+(y')^{2}} d(x,y)}
[/mm]
demzufolge müsste das integral doch (nach ein paar rechenschritten)
[mm] s(t)=\integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{ cos(t)^{2}+sin(t)^{2}+t^{2}*(sin(t)^{2}+cos(t)^{2})}dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\sqrt{ 1+t^{2}}dt} [/mm]
sein. woran würde ich nun erkennen bzw wissen dass dies
(t/2)* [mm] \sqrt {(1+t^{2})} [/mm] + (1/2)arcsinh(t)
ist ? integraltabelle oder kann ich dies auch "mit der hand rechnen" ?
Hoffe ihr könnt mir helfen :)
LG Scherzkrapferl
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lösung in integraltabelle gefunden ;)
trotzdem danke.
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