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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Do 06.11.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | 1) Sei k [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie: es existiert ein [mm] n_1 \in \IN [/mm] so,dass
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_1 [/mm] : (n-k) [mm] >(\frac{n}{2}).
[/mm]
Insbesondere ist dann auch [mm] (n-k)^{k+1} >(n/2)^{k+1}
[/mm]
2) Sei x>0. Zeigen Sie: es existiert ein [mm] n_2 \in \IN [/mm] so,dass
[mm] \forall n\ge n_2: (1+x)^n >n^k [/mm] |
Hallo zusammen,
Leider versage ich bei solch einer leichten Aufgabe fürs Repetitorium;(
1) ist klar,
wähle [mm] \epsilon:=\frac{1}{2k} [/mm] >0
Nach der Archimedischen Eigenschaft [mm] \exists n_1 \in \IN:\frac{1}{n_1} <\epsilon=\frac{1}{2k}
[/mm]
[mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_1 [/mm] gilt [mm] \frac{1}{n} \le \frac{1}{n_1} [/mm] und demnach [mm] \frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{1}{2k}
[/mm]
Umformungen der letzten Ungleichung ergeben was zuzeigen ist.
[mm] \frac{1}{n} [/mm] < [mm] \frac{1}{2k} \gdw [/mm] 2k <n [mm] \gdw [/mm] -k [mm] <-\frac{n}{2} \gdw [/mm] -k> [mm] \frac{n}{2}-n \gdw [/mm] n-k [mm] >\frac{n}{2}
[/mm]
Induktiv folgt: [mm] \forall [/mm] t [mm] \in \IN:
[/mm]
[mm] \exists n_1 \in \IN: \forall [/mm] n [mm] \ge n_1: (n-k)^t [/mm] > [mm] (\frac{n}{2})^t
[/mm]
Induktionsanfang: siehe oben
Induktionsannahme für t
Induktionsschritt: [mm] t\Rightarrow [/mm] t+1
[mm] (n-k)^{t+1} [/mm] > [mm] (\frac{n}{2})^t [/mm] (n-k) [mm] \underbrace{>}_{I-Anfang} (\frac{n}{2})^{t+1}
[/mm]
Gleichung gilt dann natürlich insbesondere für k+1
Der Schuh drückt bei 2)
2)
Ich hab einiges probiert mit Binomischen Lehrsatz, archimedische Eigenschaft sowie den Punkt a). Aber nichts haut hin...
Wäre dankbar für einen Tip!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:56 Do 06.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Was mir spontan zu 2) einfällt:
setze [mm] a_n: =\bruch{(1+x)^n}{n^k} [/mm] (n [mm] \in \IN).
[/mm]
Dann ist [mm] \wurzel[n]{a_n}=\bruch{1+x}{(\wurzel[n]{n})^k}.
[/mm]
Es gilt also: [mm] $\wurzel[n]{a_n} \to [/mm] 1+x$ für $n [mm] \to \infty$
[/mm]
Da x>0 ist, gibt es ein [mm] n_2 \in \IN [/mm] mit: [mm] \wurzel[n]{a_n}> [/mm] 1 für n [mm] \ge n_2.
[/mm]
Damit haben wir auch: [mm] a_n>1 [/mm] für n [mm] \ge n_2.
[/mm]
FRED
P.S.
Deine Lösung zu 1) ist O.K.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Fr 07.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo Fred,
danke für deine Antwort.
> Da x>0 ist, gibt es ein $ [mm] n_2 \in \IN [/mm] $ mit: $ [mm] \wurzel[n]{a_n}> [/mm] $ 1 für n $ [mm] \ge n_2. [/mm] $
Braucht man dazu nicht eine Monotonie der Funktion [mm] \wurzel[n]{a_n}?
[/mm]
Eigentlich sollte das Bsp ohne Limes, sondern mittels Archimedischen Prinzip gelöst werden. Deshalb bin ich noch auf der Suche nach einer Lösung in diesem Prinzip. Auch wenn ich Fred´s Lösungsweg sehr gut finde.
Da x>0 kann ich ja die Bernoulligleichung anwenden:
[mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN: (1+x)^n \ge [/mm] 1+nx
Jetzt müsste man nur noch zeigen, dass ein n existiert ab dem gilt:
1+nx > [mm] n^k [/mm] für x>0, [mm] k\in \IN [/mm] beliebig
Ich hab da mit Induktion herumprobiert ein n zu finden, ab dem das gilt - bin aber noch nicht darauf gekommen.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Fr 07.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> danke für deine Antwort.
> > Da x>0 ist, gibt es ein [mm]n_2 \in \IN[/mm] mit:
> [mm]\wurzel[n]{a_n}>[/mm] 1 für n [mm]\ge n_2.[/mm]
> Braucht man dazu nicht
> eine Monotonie der Funktion [mm]\wurzel[n]{a_n}?[/mm]
Nein. Ist [mm] (c_n) [/mm] eine konvergente Folge, c ihr Limes und x<c, so ex. ein [mm] n_0 [/mm] in [mm] \IN [/mm] mit [mm] c_n [/mm] >x für alle n [mm] \ge n_0.
[/mm]
>
>
> Eigentlich sollte das Bsp ohne Limes, sondern mittels
> Archimedischen Prinzip gelöst werden. Deshalb bin ich noch
> auf der Suche nach einer Lösung in diesem Prinzip. Auch
> wenn ich Fred´s Lösungsweg sehr gut finde.
> Da x>0 kann ich ja die Bernoulligleichung anwenden:
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN: (1+x)^n \ge[/mm] 1+nx
>
> Jetzt müsste man nur noch zeigen, dass ein n existiert ab
> dem gilt:
> 1+nx > [mm]n^k[/mm] für x>0, [mm]k\in \IN[/mm] beliebig
> Ich hab da mit Induktion herumprobiert ein n zu finden, ab
> dem das gilt - bin aber noch nicht darauf gekommen.
Das wundert mich nicht.
" 1+nx > [mm]n^k[/mm] für x>0, [mm]k\in \IN[/mm] beliebig" ist i.a. falsch.
Nimm [mm] x=\bruch{1}{2} [/mm] und k=1.
Die Ungleichung [mm] 1+n*\bruch{1}{2} [/mm] >n ist nur für ein einziges n [mm] \in \IN [/mm] richtig. Für welches ?
FRED
>
> LG,
> sissi
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:36 Fr 07.11.2014 | | Autor: | sissile |
> > Hallo Fred,
> > danke für deine Antwort.
> > > Da x>0 ist, gibt es ein [mm]n_2 \in \IN[/mm] mit:
> > [mm]\wurzel[n]{a_n}>[/mm] 1 für n [mm]\ge n_2.[/mm]
> > Braucht man dazu
> nicht
> > eine Monotonie der Funktion [mm]\wurzel[n]{a_n}?[/mm]
>
> Nein. Ist [mm](c_n)[/mm] eine konvergente Folge, c ihr Limes und
> x<c, so ex. ein [mm]n_0[/mm] in [mm]\IN[/mm] mit [mm]c_n[/mm] >x für alle n [mm]\ge n_0.[/mm]
Sei also x>0 folgt Grenzwert c>0
Da [mm] c_n [/mm] konvergent gegen c ist:
[mm] \forall \epsilon:\exists [/mm] N: n [mm] \ge [/mm] N : [mm] |c_n [/mm] -c| < [mm] \epsilon
[/mm]
Wähle [mm] \epsilon=c-x [/mm] >0
[mm] c-x=\epsilon>|c_n-c|\ge |c|-|c_n|
[/mm]
d.h. [mm] |c_n| \ge [/mm] |c| - (c-x)
Dann gilt [mm] |c_n| \ge [/mm] x , da c>0
Lg,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 So 09.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 17:40 Fr 07.11.2014 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Hat noch wer einen Tipp, wie man Punkt 2) mit der archimedischen Eigenschaft+Punkt 1) beweisen kann?
Liebe Grüße,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:21 So 09.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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