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| Aufgabe | | Entwickeln eines Algorithmus zur Berechnung eines Näherungswertes von Pi - Polygonmethode |
Ich habe nach intensiver Beschäftigung mit der Polygonmethode leider noch nicht vollständig nachvollziehen können, wie sie funktioniert. Danke schonmal für einen Erklärungsversuch!!Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Entwickeln eines Algorithmus zur Berechnung eines
> Näherungswertes von Pi - Polygonmethode
> Ich habe nach intensiver Beschäftigung mit der
> Polygonmethode leider noch nicht vollständig
> nachvollziehen können, wie sie funktioniert.
Hm, könmntest du das noch ein wenig konkretisieren, was dir da un klar ist? Die wesentlichen Punkte waren dabei ja:
- sie ist eine Intervallschachtelung (das haben sowieso m.W. die alten Griechen als erstes gemacht)
- sie ist rekursiv
Archimedes fing meiner Kenntnis nach mit einem ein- und einem umbeschriebenen Sechseck an, von welchen er jeweils den Umfang berechnete. Er entwickelte Rekursionsformeln, wie man ausgehend von einem bekannten Umfang bei Verdoppelung der Eckenzahl den neuen Umfang bekommt. Das rechnete er wohl durch bis er bei regelmäßigen 3072-Ecken angelangt war. Der gesuchte Kreisumfang, so viel dürfte ja klar sein, liegt dabei jeweils zwischen dem Umfang von ein- und umbeschriebenem Vieleck und je näher die zusammenliegen, desto genauer ist der Wert für den Kreisumfang bestimmt. Wenn jetzt der Kreis noch den Durchmesser 1LE hat, hat man damit direkt eine Näherung für [mm] \pi.
[/mm]
Gruß, Diophant
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Danke für die Antwort!
Ich verstehe die Pythagorasbeziehungen und wie man dann auf einen Wert kommt nicht. Mich verwirren auch die Bezeichnungen umschrieben und einbeschrieben. Tut mir leid wegen der Umstände!
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Hallo Henryenry,
> Danke für die Antwort!
> Ich verstehe die Pythagorasbeziehungen und wie man dann
> auf einen Wert kommt nicht. Mich verwirren auch die
> Bezeichnungen umschrieben und einbeschrieben. Tut mir leid
> wegen der Umstände!
Ich gehe mal rückwärts an Deiner Nachfrage entlang.
Umstände machst Du nicht. Der Sinn dieses Forums ist doch, dass Du Fragen stellen kannst und es dann jemand erklärt.
"Einbeschrieben" heißt: etwas in etwas anderes hineinzeichnen, -legen, -quetschen etc., so dass es über dieses andere nirgends hinausragt. Normalerweise sollte die einbeschriebene Figur aber schon den Rand der anderen Figur erreichen.
Ein regelmäßiges Sechseck, das einem Kreis einbeschrieben ist, berührt also mit seinen Ecken den Kreis. (Dieser Kreis heißt dann "Umkreis" des Sechsecks.)
"Umbeschrieben" heißt: etwas um etwas anderes herumzeichnen, -legen etc., so dass das vorher schon Bestehende nirgends geschnitten wird. Normalerweise sollte die umbeschriebende Figur die andere aber schon berühren.
Ein regelmäßiges Sechseck, das einem Kreis umbeschrieben ist, berührt diesen Kreis gerade an den Mitten all seiner sechs Seiten. (Dieser Kreis heißt dann "Inkreis" des Sechsecks.)
Inkreise und Umkreise solltet Ihr in der Mittelstufe bei Dreiecken in der Geometrie behandelt haben.
Geometrische Kenntnisse brauchst Du auch bei der Konstruktion der Pythagorasbeziehungen.
Fangen wir mit dem Sechseck an. Wir schneiden es in sechs "Tortenstücke", vom Mittelpunkt zu den Ecken. Jedes Tortenstück ist ein gleichseitiges Dreieck.
Dieses Dreieck teilt man noch einmal in zwei spiegelsymmetrische Teile und hat damit zwei rechtwinklige Dreiecke. Die sind für das einbeschriebene und das umbeschriebene Sechseck natürlich unterschiedlich groß.
Wir haben aber immer genügend Angaben, um alle drei Seitenlängen zu bestimmen.
Mach das vielleicht erst einmal bis hierhin.
Der Schritt vom 6- zum 12-Eck usw. kommt erst danach und verlangt noch einmal ein bisschen Überlegung, vielleicht auch eine Skizze.
Die schadet zu diesem Zeitpunkt übrigens auch nicht...
Grüße
reverend
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In dem Buch "pi Geschichte und Algorithmen einer Zahl" ist folgende Formel für die Berechnung eines einbeschriebenen Vielecks gegeben (für die Seitenhalbierung?) [mm] s_{2n} [/mm] = [mm] \wurzel{2-\wurzel{4-s_{n}^2}} [/mm] und für das umschriebene Vieleck für die Seitenverdopplung [mm] s_{2n} [/mm] = [mm] 2*\wurzel{\bruch{2-\wurzel{4-s_{n}^2}}{2+\wurzel{4-s_{n}^2}}}
[/mm]
Wieso ist einaml die Rede von Seitebhalbierung und das andere Mal von Verdopplung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:22 Mo 10.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] s_{2n} [/mm] ist die Länge einer Seite, wnn man vin n Ecken auf 2n Ecken übergeht.
Zeichne dir eines der Dreiecke raus, dazu das nit einer Ecke mehr, die in der mitte des Kreisbogens liegt und dann wende den Pythagoras an um aus der alsten seite [mm] d_n [/mm] die neuer auszurechnen, die erste formel gilt für die einbeschriebenen n- ecken, mach erstmal das.
gruss leduart
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Ich verzweifle so langsam; versuche schon 10 Stunden, das zu verstehen.....aber danke für die Antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:26 Mo 10.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
berechne zuerst das grüne Stück h aus Radius=1 und s:n/2
daraus aus 1-h das rote Stück,
dann in dem Dreieck aus rot, [mm] s_n/2 [/mm] und [mm] s_{2n} [/mm] bestimmst du [mm] s_{2n}
[/mm]
alles immer mit Pythagoras
schreib auf, was du gerechnet hast, und genau wo du scheiterst.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:10 So 23.09.2012 | | Autor: | Henryenry |
Für [mm] s_{2n} [/mm] bekomme ich [mm] \wurzel{2-\wurzel{4-s_{n}^{2}}} [/mm] raus. Wie komme ich jetzt auf die umschriebene Seitenlänge?
Über den Strahlensatz?
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> Wieso ist einaml die Rede von Seitenhalbierung und das
> andere Mal von Verdopplung?
halbiert werden Seiten (oder besser gesagt Winkel),
verdoppelt wird die Anzahl der Seiten
LG Al-Chw.
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Hallo Henryenry,
reverend hat ja alles schon sehr gut beschrieben. Hier ist noch eine kleine Skizze für dich - ein Kreis mit einbeschriebenem und umbeschriebenem regelmäßigen Sechseck:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß,
fz
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Di 28.08.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo franzzink,
super! Ich habe hier gerade keine Möglichkeit, so ein hübsches Diagramm zu erstellen.
@henryenry: Die sechs Dreiecke sind die Tortenstücke des einbeschriebenen Sechsecks. Die Teile des um(be)schriebenen Sechsecks sehen im Prinzip genauso aus, liegen aber anders und haben vor allem andere Seitenlängen.
Gerade darum geht es ja bei der Intervallschachtelung, die dann später folgt.
Grüße
reverend
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Vielen Dank für die Antwort! Wie heißt denn das Programm, was du verwendet hast?
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Es gibt ein, wie ich finde, schöneres und numerisch stabileres Verfahren.
Es seien [mm]u_n,U_n[/mm] die Umfänge des dem Einheitskreis ein- bzw. umbeschriebenen regelmäßigen [mm]n[/mm]-Ecks. Und [mm]h_n[/mm] sei die Länge der Lotstrecke, wenn man vom Kreismittelpunkt das Lot auf eine Seite des einbeschriebenen [mm]n[/mm]-Ecks fällt (der Bezeichner soll an "Höhe" erinnern). Dann gelten die folgenden Rekursionsformeln:
[mm]h_{2n} = \sqrt{\frac{1}{2} \left( 1 + h_n \right)}[/mm]
[mm]u_{2n} = \frac{u_n}{h_{2n}}[/mm]
[mm]U_n = \frac{u_n}{h_n}[/mm]
Die Intervalle [mm]\left[ u_n, U_n \right][/mm] bilden eine Intervallschachtelung für [mm]2 \pi[/mm]. Wenn man unter [mm]u_n,U_n[/mm] nicht den vollen Umfang, sondern nur den halben versteht, bekommt man eine Intervallschachtelung für [mm]\pi[/mm].
Man kann mit [mm]u_6 = 3[/mm] (das ist der halbe Umfang des dem Einheitskreis einbeschriebenen regelmäßigen Sechsecks) und [mm]h_6 = \frac{\sqrt{3}}{2}[/mm] (das ist die Höhe im gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge 1) starten. Die Berechnung mit EXCEL liefert die folgenden Werte.
[Dateianhang nicht öffentlich]
In den Zellen stehen die folgenden Formeln
A2: =6
B2: =Wurzel(3)/2
C2: =3
D2: =C2/B2
A3: =2*A2
B3: =wurzel((1+B2)/2)
C3: =C2/B3
D3: =C3/B3
Die restlichen Formeln wurden nach unten kopiert.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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