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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 So 31.10.2010 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Die Ableitung einer Funktion kann durch [mm] d_{1}= \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}
[/mm]
approximiert werden.Wie groß ist der Approximationsfehler in Abhängigkeit von h (Hinweis:Taylorentwicklung). Wie empfindlich ist das Resultat gegen Rundungsfehler bei der Auswertung von f in Abhängigkeit von ? |
Hallo,
die erste Zeile in einem Lösungsvorschlag lautet :
Taylorentwicklung liefert: f(x+h) = f(x) + [mm] f'(x)h+\bruch{f''( \xi )}{2}h^{2}
[/mm]
Wie kommt man genauer auf diese Gleichung ?
(Ist f nur 2-mal stetig partiell differenzierbar? Der Entwicklungspunkt ist x?)
Gruß
Igor
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Hallo Igor1,
> Die Ableitung einer Funktion kann durch [mm]d_{1}= \bruch{f(x+h)-f(x)}{h}[/mm]
>
> approximiert werden.Wie groß ist der Approximationsfehler
> in Abhängigkeit von h (Hinweis:Taylorentwicklung). Wie
> empfindlich ist das Resultat gegen Rundungsfehler bei der
> Auswertung von f in Abhängigkeit von ?
>
> Hallo,
>
> die erste Zeile in einem Lösungsvorschlag lautet :
> Taylorentwicklung liefert: f(x+h) = f(x) +
> [mm]f'(x)h+\bruch{f''( \xi )}{2}h^{2}[/mm]
>
Die Taylorentwicklung liefert zunächst
[mm]f(x+h) = f(x) + f'(x)h+\bruch{1}{2}*f''\left(x\right)*h^{2}+ \ ...[/mm]
Das kann auch geschrieben werden:
[mm]f(x+h) = f(x) + f'(x)h+R_{1}[/mm]
,wobei das Restglied [mm]R_{1}[/mm] nach der Lagrangeschen Darstellung:
[mm]R_{1}\left(x+h,x\right)=\bruch{\left(x+h-x\right)^{2}}{2!}*f''\left(\xi\right)[/mm]
mit einer geeigneten Zwischenstelle [mm]\xi \in \left]x,x+h\right[[/mm]
>
> Wie kommt man genauer auf diese Gleichung ?
> (Ist f nur 2-mal stetig partiell differenzierbar? Der
> Entwicklungspunkt ist x?)
f muß mindestens 2-mal stetig differenzierbar sein
und der Entwicklungspunkt ist x.
>
> Gruß
> Igor
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo MathePower,
ich nehme an, daß f bei der Aufgabe als n+1-mal stetig differenzierbare Funktion vorausgesetzt wird (Fakt ist: es steht nirgendwo in der Aufgabenstellung,oder?).
Wenn das so ist, dann kann man f(x+h) mit "Taylor entwickeln, z.B indem man n-Ableitungen ausrechnet. Da dieser Ausdruck dann zu lang wird, sagen wir, daß aus n+1-mal stetig differenzierbar 2-mal stetig differenzierbar folgt und wir f als 2-mal stetig differenzierbare Funktion mit Taylor entwickeln.
Habe ich das ungefähr richtig verstanden?
Gruß
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo MathePower,
>
> ich nehme an, daß f bei der Aufgabe als n+1-mal stetig
> differenzierbare Funktion vorausgesetzt wird (Fakt ist: es
> steht nirgendwo in der Aufgabenstellung,oder?).
In der Aufgabe steht nirgendwo,
daß f n+1-mal stetig differenzierbar ist.
> Wenn das so ist, dann kann man f(x+h) mit "Taylor
> entwickeln, z.B indem man n-Ableitungen ausrechnet. Da
> dieser Ausdruck dann zu lang wird, sagen wir, daß aus
> n+1-mal stetig differenzierbar 2-mal stetig differenzierbar
> folgt und wir f als 2-mal stetig differenzierbare Funktion
> mit Taylor entwickeln.
Fakt ist, daß Du den Fehler
[mm]\vmat{\bruch{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}-f'\left(x\right)}[/mm]
berechnen willst.
Dazu entwickelst Du [mm]f\left(x+h\right)[/mm] in eine Taylorreihe um x.
Dann schaust Du, mit welchem Glied der erhaltenen Fehler beginnt.
>
> Habe ich das ungefähr richtig verstanden?
>
>
> Gruß
> Igor
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Igor1 |
> Hallo Igor1,
>
> > Hallo MathePower,
> >
> > ich nehme an, daß f bei der Aufgabe als n+1-mal stetig
> > differenzierbare Funktion vorausgesetzt wird (Fakt ist: es
> > steht nirgendwo in der Aufgabenstellung,oder?).
>
>
> In der Aufgabe steht nirgendwo,
> daß f n+1-mal stetig differenzierbar ist.
>
>
> > Wenn das so ist, dann kann man f(x+h) mit "Taylor
> > entwickeln, z.B indem man n-Ableitungen ausrechnet. Da
> > dieser Ausdruck dann zu lang wird, sagen wir, daß aus
> > n+1-mal stetig differenzierbar 2-mal stetig differenzierbar
> > folgt und wir f als 2-mal stetig differenzierbare Funktion
> > mit Taylor entwickeln.
>
>
> Fakt ist, daß Du den Fehler
>
> [mm]\vmat{\bruch{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}-f'\left(x\right)}[/mm]
>
> berechnen willst.
>
> Dazu entwickelst Du [mm]f\left(x+h\right)[/mm] in eine Taylorreihe
> um x.
Man kann eine Funktion in eine Taylorreihe entwickeln, wenn man weiß, daß f zumindest 2-mal stetig differenzierbar ist. Aus der Aufgabenstellung wissen wir das nicht. Kann man überhaupt dann die Taylorentwicklung benutzen?
> Dann schaust Du, mit welchem Glied der erhaltenen Fehler
> beginnt.
>
>
> >
> > Habe ich das ungefähr richtig verstanden?
> >
> >
> > Gruß
> > Igor
> >
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo Igor1,
> > Fakt ist, daß Du den Fehler
> >
> >
> [mm]\vmat{\bruch{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}-f'\left(x\right)}[/mm]
> >
> > berechnen willst.
> >
> > Dazu entwickelst Du [mm]f\left(x+h\right)[/mm] in eine Taylorreihe
> > um x.
> Man kann eine Funktion in eine Taylorreihe entwickeln,
> wenn man weiß, daß f zumindest 2-mal stetig
> differenzierbar ist. Aus der Aufgabenstellung wissen wir
> das nicht. Kann man überhaupt dann die Taylorentwicklung
> benutzen?
>
In der Aufgabenstellung, das Stichwort "Taylorentwicklung".
Daher ist davon auszugehen, daß f beliebig oft differenzierbar ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Igor1 |
Hallo MathePower,
wenn also f beliebig oft differenzierbar ist, dann kann man f(x+h) als eine 2-mal stetig differenzierbare Funktion entwickeln. ( richtig?)
Macht man das , weil für eine 2-mal stetig differenzierbare Funktion einfacher
die Taylorentwicklung anzugeben als für eine beliebig differenzierbare Funktion ,oder liegt da ein tieferer Sinn dahinter ?
Ich habe nicht so gut verstanden, was Du mit "mit welchem Glied erhaltene
Fehler beginnt" meinst.
Gruß
Igor
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Hallo Igor1,
> Hallo MathePower,
>
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> wenn also f beliebig oft differenzierbar ist, dann kann man
> f(x+h) als eine 2-mal stetig differenzierbare Funktion
> entwickeln. ( richtig?)
Ja, unter anderem ist f zweimal stetig differenzierbar.
>
> Macht man das , weil für eine 2-mal stetig
> differenzierbare Funktion einfacher
> die Taylorentwicklung anzugeben als für eine beliebig
> differenzierbare Funktion ,oder liegt da ein tieferer Sinn
> dahinter ?
> Ich habe nicht so gut verstanden, was Du mit "mit welchem
> Glied erhaltene
> Fehler beginnt" meinst.
Das habe ich so gemeint, mit welchem Glied,
die entwickelte Taylorreihe von
[mm]\bruch{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}-f'\left(x\right)[/mm]
beginnt.
Beginnt diese Reihe mit [mm]h^{n}[/mm], so ist die Ordnung des Fehlers n.
>
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> Gruß
> Igor
Gruss
MathePower
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