Approximation mit Taylor < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:07 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Docci |
| Aufgabe | Zeige mit dem Taylor-Theorem, dass die Approximation
[mm] f'(x)\approx\bruch{8f(x+h)-8f(x-h)-f(x+2h)+f(x-2h)}{12h}
[/mm]
der Ordnung [mm] O(h^{4}) [/mm] entsprich |
Diese Aufgabe hatten wir vor einem Jahr in der Vorlesung als Beispiel.
zu erst muss man die Funktion an den verschiedenen Stellen bis zur 5. Ableitung entwickeln also f(x+h), f(x-h), f(x+2h), f(x-2h) das hab ich getan und das ist soweit auch klar.
Als nächstes sollte man diese entwickelten Funktionen so kombinieren, dass auf der rechten Seite nur noch eine erste Ableitung und vielleicht Glieder proportional zu [mm] h^{5} [/mm] stehen, also:
[mm] a*f(x+h)+b*f(x-h)+c*f(x+2h)+d*f(x-2h)+e*f(x)=f'(x)(+O(h^{5}))
[/mm]
das ist soweit auch klar
Als nächstes wurde ein Gleichungssystem aufgestellt:
1) a+b+c+d+e=0
2) a-b+2c-2d=1/h
3) a+b+4c+4d=0
4) a-b+8c-8d=0
5) a+b+16c+16d=0
Und hier komme ich nicht weiter, wie kommt man denn auf dieses Gleichungssystem?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen!
MfG
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:32 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Docci |
Hier noch die Entwicklungen der Funktion an den Stellen [mm] x\pm [/mm] h und [mm] x\pm [/mm] 2h
[mm] f(x\pm h)=f(x)\pm\bruch{h}{1!}*f'(x)+\bruch{h^{2}}{2!}*f''(x)\pm\bruch{h^{3}}{3!}*f'''(x)+\bruch{h^{4}}{4!}*f^{IV}(x)\pm\bruch{h^{5}}{5!}*f^{V}(x)
[/mm]
[mm] f(x\pm 2h)=f(x)\pm\bruch{2h}{1!}*f'(x)+\bruch{(2h)^{2}}{2!}*f''(x)\pm\bruch{(2h)^{3}}{3!}*f'''(x)+\bruch{(2h)^{4}}{4!}*f^{IV}(x)\pm\bruch{(2h)^{5}}{5!}*f^{V}(x)
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Docci |
das habe ich heut morgen wohl übersehen.
man schreibt sich einfach mal den Term auf
a*f(x+h)+b*f(x-h)+c*f(x+2h)+d*f(x-2h)+e*f(x)
und es ergibt sich
(a+b+c+d+e)*f(x)+(a-b+2c-2d)*h*f'(x)+...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Mi 02.11.2011 | | Autor: | Approximus |
Damit ist die Frage wohl beantwortet!
|
|
|
|
