Anzahl der Untervektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Sa 24.11.2007 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Welche Aussage ist wahr bzw. falsch:
Wie viele Unterräume hat der [mm] \IR^{2}?
[/mm]
a) Zwei, nämlich {0} und [mm] \IR^{2}?
[/mm]
b) Vier, {0} , [mm] \IR^{2} [/mm] und die beiden Koordinatenachsen?
c) Unendlich viele? |
Hallo zusammen!
Ich habe irgendwie einen Knoten im Hirn und stecke fest:
Teil a) konnte ich bereits durch das Gegenbeispiel [mm] U:=\{\vektor{0 \\ x}| x \in \IR\} [/mm] widerlegen.
Teil c) ist meiner Meinung nach die richtige Antwort.
Hat eigentlich nicht jeder Vektorraum unendlich viele Unterräume? Aber wo steht das bzw. wie ist das zu beweisen?
Nur bei Teil b) hakt es noch bei mir. Dass die Aussage falsch ist, ist mir intuitiv klar. Aber irgendwie finde ich kein Gegenbeispiel.
Wer kann mir auf die Sprünge helfen?
Ich habe die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:55 Sa 24.11.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Welche Aussage ist wahr bzw. falsch:
>
> Wie viele Unterräume hat der [mm]\IR^{2}?[/mm]
> a) Zwei, nämlich {0} und [mm]\IR^{2}?[/mm]
> b) Vier, {0} , [mm]\IR^{2}[/mm] und die beiden Koordinatenachsen?
> c) Unendlich viele?
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe irgendwie einen Knoten im Hirn und stecke fest:
> Teil a) konnte ich bereits durch das Gegenbeispiel
> [mm]U:=\{\vektor{0 \\ x}| x \in \IR\}[/mm] widerlegen.
Genau. Wenn du jetzt noch den UVR [mm] $\{ \vektor{ x \\ x } \mid x \in \IR \}$ [/mm] anschaust, hast du auch Teil b) widerlegt.
> Teil c) ist meiner Meinung nach die richtige Antwort.
Genau.
> Hat eigentlich nicht jeder Vektorraum unendlich viele
> Unterräume? Aber wo steht das bzw. wie ist das zu
> beweisen?
Ueberlege dir, dass zu jedem $x [mm] \in \IR$ [/mm] der von [mm] $\vektor{ 1 \\ x }$ [/mm] erzeugte Untervektorraum von allen anderen solchen verschieden ist. Damit hast du zu jedem Element aus [mm] $\IR$ [/mm] einen Untervektorraum, also gibt es mindestens soviele UVRe wie es Elemente in [mm] $\IR$ [/mm] gibt.
Allgemein: wenn $K$ ein unendlicher Koerper ist und $V$ ein $K$-Vektorraum mit Dimension $> 1$, dann hat $V$ unendlich viele Untervektorraeume.
Ist [mm] $\dim [/mm] V = 1$, so hat $V$ immer genau zwei Untervektorraeume. Ist [mm] $\dim [/mm] V = 0$, so hat $V$ immer genau einen Untervektorraum.
Und ist $K$ endlich (etwa $K = [mm] \IF_2 [/mm] = [mm] \IZ/2\IZ$), [/mm] und ist $V$ endlichdimensional, dann hat $V$ nur endlich viele Elemente und auch nur endlich viele Teilmengen, und da jeder UVR eine Teilmenge ist, gibt es somit nur endlich viele UVRe.
> Nur bei Teil b) hakt es noch bei mir. Dass die Aussage
> falsch ist, ist mir intuitiv klar. Aber irgendwie finde ich
> kein Gegenbeispiel.
Siehe oben.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:02 Sa 24.11.2007 | | Autor: | PixCell |
Hallo Felix!
Ja vielen Dank für Deine schnelle Hilfe.
Grrt, Teil b) war ja eigentlich ganz einfach - manchmal hat man echt ein Brett vor dem Kopf.....
Deine Erklärung mit der Anzahl der Vektorräume ist mir auch schon so halbwegs klar, muss mir das aber noch mal in Ruhe durch den Kopf gehen lassen.
Vielen Dank auf jeden Fall an Dich!!
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