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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:46 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Schakai |
Nabend!
Ich hatte in meinen Mathe Übungen folgene Aufgabe:
"Wie viele positive ganze Zahlen kleiner 1.000.000 sind duch 2, 3, ODER 5 teilbar."
Mein Weg war:
Wie viele Zahlen sind durch 2 teilbar? 1.000.000 * 1/2 !
Wieviele Zahlen sind durch 3 und nicht durch 2 teilbar?
Da 2 und 3 Primzahlen sind muss jede Zahl die durch beide tielbar ist durch ihr gemeinsames vielfaches "2*3=6" teilbar sein.
Also: 1.000.000 * 1/6 !
Wieviele Zahlen sind durch 5 und durch 2 oder 3 teilbar?
Alle Zahlen durch 5 teibar: 1.000.000 * 1/5,
jede "2*5=10"te ist durch 2 und 5 teilbar: 1.000.000 * (1/5 - 1/10),
jede "3*5=15"te ist durch 3 und 5 teilbar: 1.000.000 * (1/5 - 1/10 - 1/15) !
Zusammen:
1.000.000 * (1/2 + 1/6 + 1/5 - 1/10 -1/15) = 1.000.000 * 7/10 = 700.000
Meine Fragen sind nun:
Ist das Ergebnis richtig?
Und gibt es einen anderen, eleganteren, weg? Oder vielleicht eine leicht zu lesende Vorschrift für diese Regel die ich selbst ausgedacht und angewand habe? Ohne Regel könnte es mir sonst bestimmt passieren das ich wieder vergesse wie genau ich das denn nun gemacht habe... Aber ich bin nicht so der Held im Formeln schreiben...
Mir ist noch aufgefallen das im dem "7/10" mit denen ich die Zahl 1.000.000 multipliziere die nächst größere Primzahl nach der 5, nämlich die 7, steckt. Hat das auch eine bedeutung?
Also, danke schon mal im Voraus! Auch wenn der Anspruch für euch sicherlich zu gering ist ;)
Gute Nacht!
Schakai
P.s.: Ich habe diese Frage in keinem anderen Internet-forum gestellt!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:43 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Schakai
ich würde etwas anders vorgehen: 2*3*5=30. Das heisst: eigentlich müsste der Rhythmus, in dem die teilbaren Zahlen auftauchen, eine Periodenlänge 30 haben.
Das kannst du leicht selber überprüfen: schreibe die Zahlen von 1 bis 30 untereinander auf. Da markierst du mit rot die geraden Zahlen (das sind 15 and der Zahl), mit blau die noch nicht markierten 3-er Zahlen (5 Stück) und dann noch die noch nicht markierten 5-er Zahlen (2 Stück). Insgesamt hast du 22 Zahlen markiert.
Wenn du rechts neben deiner Zahlenkolonne das gleiche nochmals machst, mit den Zahlen 31 bis 60, dann erkennst du unschwer das gleiche Muster.
Somit sind pro 30-er Periode 22 Zahlen, die die Bedingung erfüllen.
Es gilt: 999'999/30 = 33'333 Rest 9.
Da sind also 33'333 ganze 30-er Perioden, 33'333*22=733'326.
Die angebrochene Periode am Schluss mit den 9 Zahlen (der Rest der Division) beinhaltet noch 7 der gesuchten Zahlen (das kannst du bei deinen aufgemalten Kolonnen leicht abzählen).
Insgesamt finden sich also 733'333 Zahlen der geforderten Art. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Schakai |
Ja, klingt auch gut was du sagst!
Ich hab aber den Fehler in meiner Variante nicht gefunden?!
Jetzt frage ich mich allerdings, wieso nimmst du eine 2*5*5 = 30 lange Periode?
Würde nicht 2*3*5 = 15 mehr sinn machen? Ich weiss es nicht, klingt für mich irgendwie besser...
Und einen allgemeine Vorschrift kannst du mir nicht zufällig sagen?
Danke auf jeden Fall!
Liebe Grüße!
Schakai
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Schakai
da hatte ich mich leider Verschrieben. Ich meinte natürlich 2*3*5=30. Nicht 2*5*5=30.
Nein, du musst schon mit der Periodenlänge arbeiten. Die Periodenlänge errechnet sich als KgV der gegebenen Teiler. Bei 2,3 und 5 ist das eben 30!
Wäre die 7 auch noch dabei gewesen, dann wäre die Periode 210.
Bei 3,5,und 7 halt 105.
Selbstverständlich kann man sich dann schon überlegen, wie man die Zahlen ohne Farbstifte errechnen kann. Das kannst du aber selber machen!
Versuch das mit deiner vorgeschlagenen Länge 15 doch einfach einmal selber aus. Schreibe die Kolonnen von 1 bis 15, und daneben von 16 bis 30. Dann stellst du fest, dass die Strukturen voneinander abweichen. Vergleiche dazu auch: Sieb des Eratosthenes.
Und darum herum, die letzte angebrochene Periode noch speziell zu betrachten, wirst du wohl auch nicht kommen!
Manchmal muss man in der Mathematik, und das sollte man ohnehin viel öfter machen, nicht Formeln, sondern Lösungsverfahren lernen.
Mit lieben Grüssen
Paul
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