Anzahl der Tangenten von a < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:42 Mo 19.11.2012 | | Autor: | domerich |
| Aufgabe | | Geben ist [mm] K=2x*e^x. [/mm] Gegeben ist der Punikt A(0|a), [mm] a\in\IR. [/mm] Bestimme in Abhüngigkeit von a die Anzahl der Tangenten, die von A an K gelegt werden können. |
Also ich konnte die Aufgabe nicht für meine Nachhilfeschülerin lösen, etwas peinlich!
Jedenfalls, habe ich mir überlegt, das a<0 sein muss, sonst kommt keine Tangente zustande, und außerdem dass es pro Punkt a nur eine Tangente gibt (also keine Normale, weil die ja die e Funktion schneiden würde.
Für einen Tipp wäre ich dankbar!
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Hallo domerich,
> Geben ist [mm]K=2x*e^x.[/mm] Gegeben ist der Punikt A(0|a), [mm]a\in\IR.[/mm]
> Bestimme in Abhüngigkeit von a die Anzahl der Tangenten,
> die von A an K gelegt werden können.
>
> Also ich konnte die Aufgabe nicht für meine
> Nachhilfeschülerin lösen, etwas peinlich!
>
> Jedenfalls, habe ich mir überlegt, das a<0 sein muss,
> sonst kommt keine Tangente zustande, und außerdem dass es
> pro Punkt a nur eine Tangente gibt (also keine Normale,
> weil die ja die e Funktion schneiden würde.
*Ich* komme auf die Bedingung [mm]a\le 0[/mm]; das kann man sich auch rechnerisch überlegen.
Die allg. Tangentengleichung an den Graphen von [mm]K[/mm] im Punkt [mm]P=(x_0,K(x_0))[/mm] lautet ja:
[mm]t_{x_0}(x)=K(x_0)+K'(x_0)(x-x_0)[/mm]
Das kannst du mal konkret ausrechnen ...
Dann soll der Punkt [mm]A=(0,a)[/mm] auf der Tangente liegen, also muss gelten
[mm]t_{x_0}(0)=...=a[/mm]
Rechne auch das mal aus, dann wirst du sehen, dass [mm]a\le 0[/mm] sein muss.
Dann geht der Graph von [mm]K[/mm] durch [mm]N=(0,0)[/mm], da kann man mal untersuchen, was für [mm]a=0[/mm] und für [mm]a<0[/mm] los ist.
Habe ich allerdings nicht gemacht; es soll ja auch dir zum weiteren Nachdenken gereichen 
>
> Für einen Tipp wäre ich dankbar!
Hope, it helps!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mi 21.11.2012 | | Autor: | domerich |
> Hallo domerich,
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> > Geben ist [mm]K=2x*e^x.[/mm] Gegeben ist der Punikt A(0|a), [mm]a\in\IR.[/mm]
> > Bestimme in Abhüngigkeit von a die Anzahl der Tangenten,
> > die von A an K gelegt werden können.
> >
> > Also ich konnte die Aufgabe nicht für meine
> > Nachhilfeschülerin lösen, etwas peinlich!
> >
> > Jedenfalls, habe ich mir überlegt, das a<0 sein muss,
> > sonst kommt keine Tangente zustande, und außerdem dass es
> > pro Punkt a nur eine Tangente gibt (also keine Normale,
> > weil die ja die e Funktion schneiden würde.
>
> *Ich* komme auf die Bedingung [mm]a\le 0[/mm]; das kann man sich
> auch rechnerisch überlegen.
>
> Die allg. Tangentengleichung an den Graphen von [mm]K[/mm] im Punkt
> [mm]P=(x_0,K(x_0))[/mm] lautet ja:
>
> [mm]t_{x_0}(x)=K(x_0)+K'(x_0)(x-x_0)[/mm]
>
> Das kannst du mal konkret ausrechnen ...
Die Tangentengleichung lautet [mm] also:t_x(x)= 2*x_0*exp(x_0)+(1+x_0)e*exp(x_0)(x-x_0) [/mm] für jeden Punkt [mm] x_0 [/mm] auf K.
Die Funktion für diejenige Tangente, die K in (0|0) berührt lautet:
für jeden Punkt auf K im Ursprung [mm] -2*x_0^2*exp(x_0)=a [/mm]
Der Term wird tatsächlich nie >0. Ich weiß nicht warum ich das gerechnet habe.
Die Tangente, die K in (0|0) berührt lautet also [mm] t_0(x)=2x
[/mm]
[mm] t_0(0)=0 [/mm] damit ist auch a=0.
Ich denke, dass ich mit [mm] a=-2*x_0^2*exp(x_0) [/mm] also a für jeden Punkt auf K bestimmen kann.
Aber die Frage war ja, wieviele Tangenten ich in Abhängigkeit von a durch A legen kann. Also rein logisch für jeden Wert a eine Tangente?
Für weitere Hilfe dankbar!
>
> Dann soll der Punkt [mm]A=(0,a)[/mm] auf der Tangente liegen, also
> muss gelten
>
> [mm]t_{x_0}(0)=...=a[/mm]
>
> Rechne auch das mal aus, dann wirst du sehen, dass [mm]a\le 0[/mm]
> sein muss.
>
> Dann geht der Graph von [mm]K[/mm] durch [mm]N=(0,0)[/mm], da kann man mal
> untersuchen, was für [mm]a=0[/mm] und für [mm]a<0[/mm] los ist.
>
> Habe ich allerdings nicht gemacht; es soll ja auch dir zum
> weiteren Nachdenken gereichen
>
>
>
> >
> > Für einen Tipp wäre ich dankbar!
>
> Hope, it helps!
>
> Gruß
>
> schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 Mi 21.11.2012 | | Autor: | abakus |
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> Aber die Frage war ja, wieviele Tangenten ich in
> Abhängigkeit von a durch A legen kann. Also rein logisch
> für jeden Wert a eine Tangente?
>
> Für weitere Hilfe dankbar!
Hallo,
es ist für "...rein logisch..." meistens ganz hilfreich, erstmal "rein anschaulich" an die Aufgabe ranzugehen.
Hast du dir den Graphen schon gezeichnet (z.B. im Rahmen vorhergehender Teilaufgaben wie eventuell einer Kurvendiskussion)?
Zur Not hilft auch ein Funktionsplotter.
Dann lass mal den Punkt A "von oben kommend" die y-Achse entlang wandern.
Man sieht sofort, dass für a>0 KEINE der durch (0,a) gehenden Geraden eine Tangente am Graphen sein kann.
Für a=0 gibt es genau eine Tangente, und für a<0 kann man von (0,a) aus IMMER eine Tangente "schräg nach rechts oben" legen, aber nicht immer eine Tangente "schräg nach links oben" legen. Anfangs geht das noch, aber für zu kleine a nicht mehr.
(Stichwort: Wendetangente)
DANACH kannst du anfangen, das Gesehene mathematisch zu verarbeiten.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mi 21.11.2012 | | Autor: | domerich |
Ja ich habe eine Skizze gemacht, und ja ich habe gesehen, dass die Tangenten nur in Richtung rechts oben gehen, sonst würden sie ja schneiden. Aber das hat mir nicht geholfen. Was hat das mit meinem Rechenweg zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:43 Mi 21.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Ja ich habe eine Skizze gemacht, und ja ich habe gesehen,
> dass die Tangenten nur in Richtung rechts oben gehen, sonst
Nein, für einige nicht zu kleine a gehen sie auch nach "oben links".
Du hast die Tangentengleichung für eine beliebige Stelle [mm] $x_0$ [/mm] aufgestellt.
Diese Gleichung kannst du mit ein wenig ausmultiplizieren und anschließendem Zusammenfassen in der altbekannten Form y=mx+n schreiben.
Betrachte dir dann mal den Term, der für das "n" steht. Zeige, dass er für positive [mm] $x_0$ [/mm] jeden möglichen negativen Wert annimmt, und dass er für negative [mm] $x_0$ [/mm] nur Werte annimmt, die in einem sehr begrenzten Bereich liegen.
Gruß Abakus
> würden sie ja schneiden. Aber das hat mir nicht geholfen.
> Was hat das mit meinem Rechenweg zu tun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Do 22.11.2012 | | Autor: | domerich |
Ich habs mal ausmultipliziert und komme auf
[mm] t_{x_o}(x)=2e^{x_0}*x(1+x_0)-(x_0)^2*e^{x_0}
[/mm]
Der Y-Achsenabschnitt ist also immer [mm] \le [/mm] 0.
nun habe ich noch mit dem [mm] \limes_{x_0\rightarrow -\infty} [/mm] untersucht und festgestellt, dass die Tangenten dann die Steigung Null haben.
D.h. die Steigung der Tangenten ist [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \forall x_0\in\IR
[/mm]
Was kann ich damit aussagen?
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> Ich habs mal ausmultipliziert und komme auf
>
> [mm]t_{x_o}(x)=2e^{x_0}*x(1+x_0)-(x_0)^2*e^{x_0}[/mm]
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> Der Y-Achsenabschnitt ist also immer [mm]\le[/mm] 0.
>
> nun habe ich noch mit dem [mm]\limes_{x_0\rightarrow -\infty}[/mm]
> untersucht und festgestellt, dass die Tangenten dann die
> Steigung Null haben.
> D.h. die Steigung der Tangenten ist [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall x_0\in\IR[/mm]
>
> Was kann ich damit aussagen?
Hallo domerich !
Zuerst mal eine möglicherweise etwas "blöde" Frage:
Hast du dir den Graph der Funktion einmal schön
aufgezeichnet (auch mit geeigneten Maßstäben auf
den Koordinatenachsen) und dann mit einem Lineal
etwas experimentiert, welche Tangenten es jeweils
geben könnte, wenn man die Linealkante die vertikale
Achse an verschiedenen Stellen schneiden lässt ?
Diese anschauliche Hilfe könnte auch für den dann
zu liefernden rechnerischen Weg recht nützlich sein !
LG, Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:36 Do 22.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Ich habs mal ausmultipliziert und komme auf
>
> [mm]t_{x_o}(x)=2e^{x_0}*x(1+x_0)-(x_0)^2*e^{x_0}[/mm]
Hallo,
es geht nun noch konkret darum, welchen minimalen Wert [mm] $(x_0)^2*e^{x_0}$ [/mm] für negative x annehmen kann.
Suche also das lokale Minimum für diesen Term im negativen Bereich.
Gruß Abakus
>
> Der Y-Achsenabschnitt ist also immer [mm]\le[/mm] 0.
>
> nun habe ich noch mit dem [mm]\limes_{x_0\rightarrow -\infty}[/mm]
> untersucht und festgestellt, dass die Tangenten dann die
> Steigung Null haben.
> D.h. die Steigung der Tangenten ist [mm]\ge[/mm] 0 [mm]\forall x_0\in\IR[/mm]
>
> Was kann ich damit aussagen?
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Wenn du dir die Zeichnung mal genau anschauen
willst, so markiere auf der Kurve K insbesondere
den (einzigen) Wendepunkt W, lege in ihm die
Wendetangente [mm] t_W [/mm] und bezeichne den Schnitt-
punkt dieser Tangente [mm] t_W [/mm] mit der vertikalen Achse
mit S. Die Koordinaten von S seien $\ [mm] (0\,|\,y_S)$ [/mm] .
Man sieht natürlich, dass [mm] y_S<0 [/mm] ist.
Nun schiebt man einen Punkt $\ [mm] A(0\,|\,a)$ [/mm] mit [mm] a\in\IR
[/mm]
der y-Achse entlang und muss sich überlegen, wie viele
Tangenten man von einem solchen Punkt A aus jeweils
(in Abhängigkeit vom Wert von a) an die Kurve K
legen kann.
Qualitativ gesehen sind nun nur die folgenden Fälle
zu unterscheiden:
1.) $\ a>0$
2.) $\ a=0$
3.) [mm] y_S
4.) [mm] a=y_S
[/mm]
5.) [mm] a
Zu berechnen sind also eigentlich nur noch die Koor-
dinaten von W und die Schnittkoordinate [mm] y_S [/mm] .
Die restlichen Überlegungen (betr. Anzahl der jeweils
in Frage kommenden Tangenten) macht man dann am besten
rein geometrisch - also ohne große weitere analytische
Fallunterscheidungen !
LG
Al-Chwarizmi
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Die Anschauung (mittels Zeichnung) sollte den Weg
zur Lösung weisen.
Für die rechnerische Lösung möchte ich noch den
folgenden Tipp geben:
Betrachte die Funktion g , welche jeder reellen Zahl x
als Funktionswert die y-Koordinate des Schnittpunktes
der im Punkt $\ [mm] P(x\,|\,K(x))$ [/mm] an die Kurve gelegten Tangente
mit der y-Achse zuordnet ! (Kompliziert ? dann einfach
nochmals bedächtig und sorgfältig lesen ...)
Dann kümmere dich um die Anzahl der Stellen x , für
welche die Funktion g einen gegebenen (aber beliebigen)
reellen Wert a annimmt.
Zeichne also auch den Graphen von g und mache dir
klar, wie viele Punkte jeweils eine zur x-Achse parallele
Gerade (mit Gleichung y=a) mit dem Graph von g gemeinsam
hat - eben in Abhängigkeit von dem Parameter a !
LG
Al-Chwarizmi
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> Ja ich habe eine Skizze gemacht, und ja ich habe gesehen,
> dass die Tangenten nur in Richtung rechts oben gehen, sonst
> würden sie ja schneiden. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
Hallo domerich,
ich vermute, dass du von einer falschen Definition
des Begriffs "Tangente" ausgehst !
Bei einem Kreis (in der Ebene) stimmt es zwar,
dass eine Tangente eine Gerade in der Ebene ist,
welche mit der Kreislinie genau einen Punkt
gemeinsam hat. Für andere Kurven ist dies aber
im Allgemeinen nicht wahr, bzw. nicht die volle
Wahrheit.
Die hier vorliegende Kurve besitzt auch solche
Tangenten, welche die Kurve ausser im Tangenten-
berührpunkt noch in einem anderen Schnittpunkt
treffen (kreuzen).
LG, Al-Chw.
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