Anzahl der Primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallöchen,
ich habe noch eine Frage zu einem Beweis aus der Vorlesung und zwar hatten wir einen Satz:
Es sei P das Produkt der Primzahlen [mm] \le \sqrt{N} [/mm] und [mm] \omega(n) [/mm] die Anzahl der verschiedenen Primteiler von n (n [mm] \in \IN). [/mm] Mit [x] wird die größte ganze Zahle [mm] \le [/mm] x bezeichnet. Dann gilt:
[mm] \pi(N)= \pi(\sqrt{N}) [/mm] -1 + [mm] \summe_{d|P} (-1)^{\omega(n)} [\bruch{N}{d}].
[/mm]
Dabei ist die Summe über alle Teiler d von P zu erstrecken.
So erstmal vorne weg. Wie kann ich mir eine Summer der Form [mm] \summe_{d|P} [/mm] d vorstellen? Hat da jemand vielleicht ein Beispiel? Weil ich den Ausdruck noch nicht richtig verstanden habe, fällt es mir schwer mir selber eines zu konstruieren:-(
So aber nun zum Beweis den Anfang verstehe ich bis wir an die Stelle gelangen:
[mm] \pi(N)= \pi(\sqrt{N})+N-1-|A|
[/mm]
mit A={n [mm] \in \IN|2 \le [/mm] n [mm] \le [/mm] N und [mm] (p_{1}|n [/mm] oder [mm] p_{2}|n [/mm] oder...oder [mm] p_{r}|n}
[/mm]
Nun gilt nach dem inklusin-exklusion-principle
[mm] |A|=|A_{1} \cup...\cup A_{r}|
[/mm]
[mm] =\summe_{1 \le i \le r} |A_{i}|-\summe_{1 \le i_{1} \le i_{2} \le r} |A_{i_{1}} \cap A_{i_{2}}|+-....+(-1)^{r-1} |A_{1} \cap A_{2} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{r}|
[/mm]
Wegen [mm] |A_{i{1}} \cap A_{i_{2}} \cap... \cap A_{i_{s}}|= [/mm] [ [mm] \bruch{N}{p_{i_{1}}...p_{i_{s}}}] [/mm] und [mm] N=[\bruch{N}{1}] [/mm] soll hieraus die angegebene Formel aus dem Satz enstehen kann mir jemand erklären wie. Denn ich sehe es leider nicht egal wie ich es drehe und wende:-(
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:58 Do 01.12.2011 | | Autor: | wauwau |
Also zuerst mal
[mm] $\summe_{d|P}d$ [/mm]
ist ja nichts anderes als die Summe der Teiler von P
oder
[mm] $\summe_{d|P}1$
[/mm]
wäre die Anzahl der Teiler von P
und jetzt versuch mal die [mm] A_i [/mm] als eine solche Summe darzustellen
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Hallöchen
mir bereitet es immer noch Probleme mit diesen Summen.
Also ich hätte ja gesagt,
dass [mm] A_{i}=\summe_{p_{i}|n} p_{i} [/mm]
aber dass kann ja nicht sein denn ich will ja irgendwie zu dem Ausdruck [mm] \summe_{d|P}...
[/mm]
aber ich finde meinen Denkfehler leider nicht.
Kann mir jemand helfen?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:59 Do 01.12.2011 | | Autor: | wauwau |
Schau dir nochmal die erste "Formel" in deinem Aritkel an,
da fehlt was, denn was ist $n$ in der Summe??
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Hallöchen
naja das n besteht ja aus Primfaktoren aber es müssen ja nicht alle Primfaktoren [mm] \le \sqrt{N} [/mm] enthalten sien deswegen weiß ich leider nicht wie viel mir das nützt.
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:18 Fr 02.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast
$ [mm] \summe_{d|P} (-1)^{\omega(n)} [\bruch{N}{d}]. [/mm] $
was ist das n in der Formel? es macht keinen Sinn.
Wenn ich es weglasse
also einfach [mm] \summe_{d|P} [\bruch{N}{d}]
[/mm]
versteh ich nicht wieso du nach
[mm] \summe_{d|P} [/mm] d fragst, die kommt nirgends vor.
nimm an N=26 dann ist P={2,3,5}
[mm] \summe_{d|P} [\bruch{26}{d}]= [\bruch{26}{2}]+ [\bruch{26}{3}]+ [\bruch{26}{5}]=13+8+5
[/mm]
Kannst du jetzt damit umgehen
Gruss leduart
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Hallöchen,
ich dachte die Aussage des obigen Beweises wäre mir mittlerweile klar, aber beim näherer Betrachtung habe ich doch noch Probleme bei den letzten Folgerungen und höffe deswegen das mir doch noch jemand helfen kann.
Ich möchte nun ja zeigen, dass
[mm] \pî(N)= \pi(\sqrt{N})-1+\summe_{d|P} (-1)^{\omega(d)} [\frac{N}{d}], [/mm] wobei [mm] P=p_1...p_r [/mm] mit [mm] p_i [/mm] prim
Ich verstehe noch in dem Beweis wie ich auf die Formel:
[mm] \pî(N)= \pi(\sqrt{N})+N-1-|A| [/mm] komme.
Außerdem verstehe ich auch noch, dass wegen dem Inklusion-Exklusion-Prinzip:
[mm] |A|=|A_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup A_r|=\summe_{1 \le i \le r} |A_i| \pm... +(-1)^{r-1} |A_1 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_r| [/mm] gilt.
Aber nun soll wegen [mm] |A_{i_{1}} \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{i_{s}}|=|\{n \in \IN | 2 \le n \le N und p_{i1}...p_{is} |n\}|= [\frac{N}{p_{i1}...p_{is}}] [/mm] und [mm] N=[\frac{N}{1}] [/mm] die angegebene Formel folgen.
Ich verstehe hieran nicht warum der Durchschnitt der ganzen Mengen gleich [mm] [\frac{N}{p_{i1}...p_{is}}] [/mm] ist. Und auch wie hiermit folgen soll, dass
[mm] \summe_{d|P} (-1)^{\omega(d)} [\frac{N}{d}]=N-|A|
[/mm]
Kann mir bitte jemand diese beiden Sachen nochmal erklären?
LG Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 15.01.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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