Anzahl Elemente im Körper < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mo 18.04.2011 | | Autor: | tmili |
| Aufgabe | Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen.
a) Wie viele Elemente besitzt der Vektorraum [mm] K^{n}?
[/mm]
b) Seien [mm] v_{1},...,v_{k} \in K^{n} [/mm] linear unabhängig. Wie viele Elemente besitzt [mm] ?
[/mm]
c)Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von GL(n,K). |
Antwort a) ist mir noch recht eingänglich, da [mm] K^{n} [/mm] ja n Tupel beinhaltet und in jeder Eintrag im Tupel q-mal verschieden sein kann. Also ist die Antwort [mm] q^{n}.
[/mm]
Bei b) hört jedoch meine Vorstellungskraf schon auf :(
Mir ist klar, dass erst mal [mm] v_{1} [/mm] bis [mm] v_{k} [/mm] im Erzeugnis drin sind -> also k Elemente. Dann müssen ja zudem [mm] av_{1} [/mm] bis [mm] av_{k},bv_{1} [/mm] bis [mm] bv_{k},....,qv_{1} [/mm] bis [mm] qv_{k} [/mm] im Erzeugnis sein, dh nochmal k*q Elemente.
Und jetzt müssen ja noch irgendwie alle möglichen Summen berücksichtigt werden. Wie mache ich das?
Bei c) bin ich jetzt völlig hilflos....wie viele Matrizen sind denn überhaupt möglich ohne das man das invertierbar berücksichtigt? Von dieser Anzahl müsste man ja dann die Matrizen, bei denen es nicht möglich ist wieder abziehen oder denke ich da zu kompliziert?
Bin sehr dankbar für jede Hilfe!
Liebe Grüße Tmili
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Mo 18.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Tmili!
> Sei K ein endlicher Körper mit q Elementen.
> a) Wie viele Elemente besitzt der Vektorraum [mm]K^{n}?[/mm]
> b) Seien [mm]v_{1},...,v_{k} \in K^{n}[/mm] linear unabhängig. Wie
> viele Elemente besitzt [mm]?[/mm]
> c)Bestimmen Sie die Anzahl der Elemente von GL(n,K).
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LG Felix
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