Anwendungsaufgabe Extremwerte < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
Wie müssen bei gegebenem Umfang U=100 des Querschnitts die Rechteckseiten gewählt werden,damit der Querschnitt den größten Flächeninhalt A hat? |
Hi..
Also ich habe einige Ansätze:
Seite 1 ist 2a;Seite 2 ist b; damit ist der Radius des Halbkreises a
A = 2ab + 1/2 * (PI *a²)
100 = 1/2 * PI * 2a + 2a + 2b
5,14a - 100 = -2b
dann habe ich nach b aufgelöst und heraus kam
-2,57a + 50 = b
dies habe ich dann in die Funktion A(a) eingesetzt:
A(a) = 2a * (-2,57a + 50) + 1,57a²
= -3,57a² + 100a
A'(a) = -7,14a + 100
A'' (a) = -7,14
notwendige Bedingung A'(a)=0
0 = -7,14a + 100
a ≈ 14
hinreichende Bedingung A'(a)=0 und A''(a) ungleich 0
A''(14) = 6,75
-> TP (14/700)
Diese Lösung erscheint mir ziemlich unrealistisch,
da es ja bedeuten würde, dass die Seite 2a= 28 und b=700 sein müsste,
jedoch ist der Umfang nur = 100
Kann mir bitte jemand helfen?
Lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Di 28.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Der Querschnitt eines Abwasserkanals hat die Form eines
> Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis.
> Wie müssen bei gegebenem Umfang U=100 des Querschnitts
> die Rechteckseiten gewählt werden,damit der Querschnitt
> den größten Flächeninhalt A hat?
> Hi..
> Also ich habe einige Ansätze:
> Seite 1 ist 2a;Seite 2 ist b; damit ist der Radius des
> Halbkreises a
>
> A = 2ab + 1/2 * (PI *a²)
>
> 100 = 1/2 * PI * 2a + 2a + 2b
> 5,14a - 100 = -2b
>
> dann habe ich nach b aufgelöst und heraus kam
> -2,57a + 50 = b
>
> dies habe ich dann in die Funktion A(a) eingesetzt:
>
> A(a) = 2a * (-2,57a + 50) + 1,57a²
> = -3,57a² + 100a
>
> A'(a) = -7,14a + 100
> A'' (a) = -7,14
>
> notwendige Bedingung A'(a)=0
> 0 = -7,14a + 100
> a ≈ 14
>
> hinreichende Bedingung A'(a)=0 und A''(a) ungleich 0
> A''(14) = 6,75
> -> TP (14/700)
>
> Diese Lösung erscheint mir ziemlich unrealistisch,
> da es ja bedeuten würde, dass die Seite 2a= 28 und b=700
Das hast du deutlich fehlinterpretiert.
Der Punkt (14|700) deiner Flächenfunktion bedeutet, dass bei a=14 der Flächeninhalt des Querschnitts 700 Flächeneinheiten beträgt.
Die doppelte Höhe b+b erhältst du, wenn du von 100 die Breite 2*14 und die Länge des entsprechenden Halbkreisbogens subtrahierst.
Gruß Abakus
> sein müsste,
> jedoch ist der Umfang nur = 100
>
> Kann mir bitte jemand helfen?
>
> Lg
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 Di 28.09.2010 | | Autor: | Jessiiiiie |
Oh ja, jetzt ist es klar. Ist ja auch logisch;)
Dankeschön!
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