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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:13 So 23.09.2012 | | Autor: | luna19 |
| Aufgabe | In ein Staubecken,das zu Beginn des Jahres 5000 [mm] m^{3} [/mm] Wasser enthält,fließt Wasser ein.Die Wasserzuflussrate kann durch die Funktion
f mit [mm] f(t)=-t^{2}+40t+225 [/mm] beschrieben werden (t in Tagen seit Jahresanfang,f(t) in [mm] m^{3}/Tag).Ein [/mm] negativer Funktionswert weist dabei auf einen Abfluss von Wasser hin.
a)Bestimmen Sie den Wasserstand nach 30 Tagen
b)Welche maximale Wassermenge ist in den ersten 3 Monaten zu erwarten?
c)Wann wird das Becken nach diesem Modell leer sein?
d)Bestimmen Sie die mittlere Zuflussrate in den ersten 60 Tagen
Bestimmen Sie die mittlere Wassermenge in den ersten 60 Tagen. |
Hallo :)
ich weiß nicht,ob ich die Aufgaben richtig bearbeitet habe
[mm] a)5000+\integral_{0}^{30}{ (-t^{2}+40t+225)dt}=15750
[/mm]
[mm] F(t)=-\bruch{1}{3}t^{3}+20t^{2}+225t+5000
[/mm]
Stimmt die Stammfunktion? Und es gibt doch nur diese eine, oder?
b)Hochpunkte:
notwendig. bed
f(t)=0
[mm] -t^{2}+40t+225=0
[/mm]
x1:45 ,x2:-5
hin.Bed
f'(x)=-2*t+40
f'(45)=-2*45+40=-50 Hochpunkt
[mm] F(45)=-\bruch{1}{3}45^{3}+20*45^{2}+225*45+5000=25250m^{3} [/mm]
c)Nullstellen von F(x)
[mm] -\bruch{1}{3}t^{3}+20t^{2}+225t+5000=0
[/mm]
GTR:
x1:72,22
Nach 72 Tagen wird der Becken leer sein
d)mittlere Zuflussrate:
m: [mm] \bruch{y2-y1}{x2-x1}
[/mm]
P(0/225), Q(60/-975)
[mm] \bruch{-975-225}{60-0}=-20 m^{3} [/mm] /Tag
mittlere Wassermenge:
[mm] 5000+\integral_{0}^{60}{ (-t^{2}+40t+225)dt}=18500m^{3}
[/mm]
[mm] 18500/60=308,33m^{3}/Tag
[/mm]
Danke !!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 So 23.09.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> In ein Staubecken,das zu Beginn des Jahres 5000 [mm]m^{3}[/mm]
> Wasser enthält,fließt Wasser ein.Die Wasserzuflussrate
> kann durch die Funktion
> f mit [mm]f(t)=-t^{2}+40t+225[/mm] beschrieben werden (t in Tagen
> seit Jahresanfang,f(t) in [mm]m^{3}/Tag).Ein[/mm] negativer
> Funktionswert weist dabei auf einen Abfluss von Wasser
> hin.
>
>
> a)Bestimmen Sie den Wasserstand nach 30 Tagen
> b)Welche maximale Wassermenge ist in den ersten 3 Monaten
> zu erwarten?
> c)Wann wird das Becken nach diesem Modell leer sein?
> d)Bestimmen Sie die mittlere Zuflussrate in den ersten 60
> Tagen
> Bestimmen Sie die mittlere Wassermenge in den ersten 60
> Tagen.
> Hallo :)
>
> ich weiß nicht,ob ich die Aufgaben richtig bearbeitet habe
>
> [mm]a)5000+\integral_{0}^{30}{ (-t^{2}+40t+225)dt}=15750[/mm]
>
> [mm]F(t)=-\bruch{1}{3}t^{3}+20t^{2}+225t+5000[/mm]
>
> Stimmt die Stammfunktion? Und es gibt doch nur diese eine,
> oder?
Das ist korrekt so.
>
> b)Hochpunkte:
>
> notwendig. bed
>
> f(t)=0
>
> [mm]-t^{2}+40t+225=0[/mm]
>
> x1:45 ,x2:-5
>
> hin.Bed
>
> f'(x)=-2*t+40
>
> f'(45)=-2*45+40=-50 Hochpunkt
>
> [mm]F(45)=-\bruch{1}{3}45^{3}+20*45^{2}+225*45+5000=25250m^{3}[/mm]
Das ist korrekt.
>
> c)Nullstellen von F(x)
>
>
> [mm]-\bruch{1}{3}t^{3}+20t^{2}+225t+5000=0[/mm]
>
> GTR:
>
> x1:72,22
>
> Nach 72 Tagen wird der Becken leer sein
Das sieht gut aus.
>
> d)mittlere Zuflussrate:
>
> m: [mm]\bruch{y2-y1}{x2-x1}[/mm]
>
> P(0/225), Q(60/-975)
>
> [mm]\bruch{-975-225}{60-0}=-20 m^{3}[/mm] /Tag
Wenn du hier die Funktion f benutzt hast, um die y-Werte 225 und -975 zu bestimmen, ist das korrekt.
>
>
> mittlere Wassermenge:
>
>
> [mm]5000+\integral_{0}^{60}{ (-t^{2}+40t+225)dt}=18500m^{3}[/mm]
>
> [mm]18500/60=308,33m^{3}/Tag[/mm]
Das ist korrekt, die Antwort aber nicht. An einem der Tage kannst du mit einer Wassermengevon [mm] 308,\overline{3}m^{3} [/mm] im Becken rechnen.
>
> Danke !!
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:42 So 23.09.2012 | | Autor: | luna19 |
im Lösungsbuch steht aber dass die mittlere Zuflussrate 225 [mm] m^{3}/tag
[/mm]
beträgt und die mittlere Wassermenge 17750 [mm] m^{3} [/mm] groß ist.
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Hallo luna19,
> im Lösungsbuch steht aber dass die mittlere Zuflussrate
> 225 [mm]m^{3}/tag[/mm]
> beträgt und die mittlere Wassermenge 17750 [mm]m^{3}[/mm] groß
> ist.
Die mittlere Zuflussrate in den ersten 60 Tagen
berechnet sich nach der Formel
[mm]\bruch{1}{60}\integral_{0}^{60}{f\left(t\right) \ dt}[/mm]
Die mittlere Wassermenge in den ersten 60 Tagen
berechnet sich nach der Formel
[mm]\bruch{1}{60}\integral_{0}^{60}{F\left(t\right) \ dt}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Mo 24.09.2012 | | Autor: | luna19 |
Hallo :)
danke für die antwort,aber ich verstehe den lösungsansatz nicht:
$ [mm] \bruch{1}{60}\integral_{0}^{60}{f\left(t\right) \ dt} [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{60}\integral_{0}^{60}{F\left(t\right) \ dt} [/mm] $
Geben die beiden Integrale nicht dasselbe an ?
und warum stimmen meine Ansätze nicht,da sollten doch auch die richtigen Lösungen herauskommen?
m: $ [mm] \bruch{y2-y1}{x2-x1} [/mm] $
P(0/225), Q(60/-975)
$ [mm] \bruch{-975-225}{60-0}=-20 m^{3} [/mm] $ /Tag
$ [mm] 5000+\integral_{0}^{60}{ (-t^{2}+40t+225)dt}=18500m^{3} [/mm] $
$ [mm] 18500/60=308,33m^{3}/Tag [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Mo 24.09.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> Hallo :)
> danke für die antwort,aber ich verstehe den
> lösungsansatz nicht:
>
>
> [mm]\bruch{1}{60}\integral_{0}^{60}{f\left(t\right) \ dt}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{60}\integral_{0}^{60}{F\left(t\right) \ dt}[/mm]
>
> Geben die beiden Integrale nicht dasselbe an ?
nein, im ersten wird die Zuflussrate integriert, im zweiten die Wassermenge!
> und warum stimmen meine Ansätze nicht,da sollten doch auch
> die richtigen Lösungen herauskommen?
Das müsstest du begründen! deine formel für den durchschnitt gilt nur, wenn etwas linear ab oder zunimmt.
nimm an, am ersten Tag ist das Ding voll, am zweiten völlig leer und bleibt so. was ist die durchschnittliche Wassermenge in 60 Tagen oder an den ersten 30Tagen ganz voll, danach ganz leer? du kannst das variieren 58 Tage voll, dann ganz leer. du hast in allen 3 Fällen dasselbe raus.
Dein durchschnittliches Taschengeld in einem jahr: im januar leider nichts, im Dezember leider auch. dazwischen monatlich 100€ dein durchschn. Taschengeld 0
oder im januar 100€ danach monatlich 200€ Durchschnitt 300€/12?
Bei dem TG siehst du direkt dass du alle ennahmen addieren musst und nicht nur die erste und letzte. Diese Summation wird, wenn der Zufluss an TG nicht monatlich, sondern täglich erfolgt oder kontinuierlich durch das Integral ersetzt!
Gruss leduart
Gruss leduart
> m: [mm]\bruch{y2-y1}{x2-x1}[/mm]
> P(0/225), Q(60/-975)
>
> [mm]\bruch{-975-225}{60-0}=-20 m^{3}[/mm] /Tag
>
> [mm]5000+\integral_{0}^{60}{ (-t^{2}+40t+225)dt}=18500m^{3}[/mm]
>
> [mm]18500/60=308,33m^{3}/Tag[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Mi 26.09.2012 | | Autor: | luna19 |
Hallo :)
ich verstehe das hier nicht: nein, im ersten wird die Zuflussrate integriert, im zweiten die Wassermenge!
wenn ich die Zuflussrate integriere,also die Stammfunktion dazu bilde ,dann bekomme ich die Wassermenge heraus.ich brauche jedoch die Zuflussraten oder etwa nicht? Und was erhalte ich, wenn ich die Wassermenge integriere?
die wassermenge mal Zeit ?
Danke !!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mi 26.09.2012 | | Autor: | chrisno |
Das Problem entsteht dadurch, dass Du nicht konsequent die Einheiten mit nimmst. Es geht auch ohne die Einheiten, doch dann muss man wissen, was man tut.
Wenn Du einen Mittelwert über die Zeit bei einer nichtlinearen Funktion bildest, dann ist das zum Beispiel die Frage: "wie groß hätte eine konstante Zuflussrate sein müssen, um in der gegebenen Zeit die gleiche Wassermenge zu erhalten?" Also nimmst Du die gesamte hinzugekommene Wassermenge und teilst sie durch die Zeit (die 60 (Tage)). Die gesamte Wassermenge bekommst Du, indem Du die Zuflussrate über die 60 Tage integrierst. Also Mittlere Zuflussrate = Integral über die Zuflussrate geteilt durch die Gesamtzeit. Die Einheit ist wieder die einer Zuflussrate: Wassermenge durch Zeit.
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