Anwendungsaufgabe < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Do 08.11.2007 | | Autor: | Capi |
| Aufgabe | Die momentane Ankunftsrate an einem Kino - also die Anzahl der ankommenden Personen pro Minute - soll modellhaft beschrieben werden durch die Funktion f mit
f(x) = 0,27 * x² * [mm] e^{-0,12x}
[/mm]
Dabei ist x die Zeit in Minuten seit 19 Uhr und f(x) die Anzahl der ankommenden Personen pro Minute.
Vor 19 Uhr befinden sich noch keine Besucher am Kartenschalter.
Um 19:20 Uhr öffnet der Kartenschalter des Kinos. Pro Minute können durchschnittlich für 6 Personen Karten ausgegeben werden.
Mit welcher Wartezeit muss eine Person rechnen, die um 19.20 Uhr zum Kino kommt?
Wann ist die Anzahl der Wartenden am größten?
Wie viele Besucher warten dann?
Wann hat sich die Warteschlange aufgelöst? |
Hallo,
ich möchte gerne wissen, ob meine Lösungen stimmen.
Mit welcher Wartezeit muss eine Person rechnen, die um 19.20 Uhr zum Kino kommt?
Personen am Warteschalter um 19.20 Uhr:
[mm] \integral_{0}^{20}{f(x) dx} [/mm] = 134
Pro Minute werden 6 Karten ausgegeben: 134 : 6 = 22,3
Die Person muss etwa 22 Minuten warten.
Wann ist die Anzahl der Wartenden am größten?
Ich habe f(x) - 6 in den GTR eingegeben und konnte dann sehen, dass etwa von 7 bis 32 Minuten mehr als 6 Personen kommen, diese müssen also warten. Daher wäre nach 32 Minuten die Anzahl der Wartenden am größten.
Wie viele Besucher warten dann?
Ich habe das Integral der Funktion f(x)-6 von 7,2 bis 31,8 gebildet und 63,8 raus bekommen.
Es warten dann also 64 Personen.
Wann hat sich die Warteschlange aufgelöst?
Zusätzlich zu den 64 Personen die schon anstehen, kommen nach 19:32 Uhr noch weitere 82 Personen dazu. Insgesamt müssen dann also noch 146 Personen eine Karte bekommen.
146 : 6 = 23,3
Nach weiteren 23 Minuten hat sich die Schlange aufgelöst, insgesamt also um 19:57 Uhr.
Danke
lg
Capi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:09 Do 08.11.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich finde alles nachvollziehbar beschrieben. Die Ergebnisse stimmen auch soweit, nur dass 146:6 dann eher ca. 24min ergeben :)
Interessante Aufgabe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Capi |
Erstmal danke für die Antwort, aber mir ist gerade noch etwas eingefallen...
Zu der Frage: Wann ist die Anzahl der Wartenden am größten?
So wie ich es gerechnet habe, gehe ich ja davon aus, dass der Kartenschalter ab 19:00 Uhr öffnet. Aber in der Aufgabe heißt es ja, er öffnet erst um 19:20 Uhr und dann stimmt das doch nicht, oder?
Wie kann ich das dann rechnen?
lg
Capi
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Hallo!
Vielleicht bastelst du dir mal ne Funktion, die die Anzahl der Leute zu jedem Zeitpunkt nach 19:20 angibt. Anhand derer kannst du alle Aufgaben recht mathematisch angehen, und vertust dich mit Anzahlen etc. nicht so einfach.
Die Zutaten hast du ja bereits:
[mm] $n=\int_{19:00}^{19:20}f(x) [/mm] dx+ [mm] \int_{19:20}^T [/mm] f(x)-6 dx$
Diese Formel gibt die Anzahl der Leute vor den Kassen zu einem Zeitpunkt T an. (Hab mal Uhrzeiten reingeschrieben)
Das rechte Integral hast du ausgerechnet, das sind doch die 134 Leute. Das linke Integral kannst du meinetwegen schonmal so weit wie möglich berechnen.
> Wann ist die Anzahl der Wartenden am größten?
Hier mußt du also das Maximum der Funktion n berechnen, dazu n also ableiten und 0 setzen. Die Ableitung ist also einfach $f(x)-6$ (Du hast das etwas schwammig bei dir formuliert, du suchst die Nullstellen)
> Wie viele Besucher warten dann?
Hier also einfach in die Funktion n einsetzen. Du siehst, du mußt nur diese 134 dazuaddieren.
> Wann hat sich die Warteschlange aufgelöst?
Auch hier könntest du recht einfach nach n=0 fragen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:01 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Capi |
Danke, das probier ich gleich mal.
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