Anwendungen der Arkusfunktion < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Umfrage) Beendete Umfrage  | | Datum: | 15:30 Mo 06.10.2008 | | Autor: | dulac |
Hallihallo!
Also ich schreib zurzeit eine Facharbeit über Arkusfunktionen, in der ich auch die praktischen Anwendungen dieser miteinbeziehen soll. Und zwar soll ich eine Anwendung finden (Physik, Chemie, im täglichen Leben...) bei der die Ableitung der Arkusfunktionen benutzt wird und wo ich am besten auch deren Integration miteinbeziehen kann. Nach mehreren wirklich sehr verzweifelten Versuchen so eine Anwendung zu finden, bin ich am absolut depessiven Tiefpunkt meiner Facharbeit angekommen.
Deswegen: Kennt vielleicht irgendjemand eine praktische Anwendung der Ableitungen der Arkusfunktionen bei der ich auch die Integration miteinbeziehen kann???
Ich hab diese schonmal in einem Forum gestellt (siehe unten) aber bis jetzt leider noch keine Antwort bekommen. Ich hoffe aber dass ich deswegen nicht in Ungnade falle.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.chemieonline.de/forum/showthread.php?t=118794
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:44 Mo 06.10.2008 | | Autor: | Zorba |
Du könntest die Gestalt einer hängenden Kette ausrechnen, so wie hier z.B.: http://home.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/ANALYSISmitBildern.pdf
Kapitel III
Abschnitt 7.3.10
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:18 Mo 06.10.2008 | | Autor: | dulac |
Als erstes vielen, vielen Dank, dass du so schnell auf meine Frage reagiert hast!
Allerdings bin ich mir nicht sicher ob ich das Beispiel benutzen kann, weil meine Facharbeit sich nur auf Arkussinus, -kosinus und -tangens bezieht. Die hyperbolischen Funktionen und ihre Umkehrung hab ich mit keinem Wort erwähnt, zumal die hyperbolischen Funktionen in unserem Kurs als eigenes Thema vergeben wurden.
Kennst du vielleicht auch ein Beispiel bei dem nur die Ableitungen der oben genannten Arkusfunktionen benutzt werden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Mo 06.10.2008 | | Autor: | dulac |
Danke für den Hinweis!
Aber ich bin mir ebenfalls nicht so sicher ob das unter die Kategorie praktische Anwendungen fällt. Mir wäre da eher was praxisbezogeneres in den Sinn gekommen. Ich werde meinen Mathelehrer trotzdem mal fragen was er davon hält und ob ich es verwenden kann.
Aber noch besser wärs wenn ich eben die Integration mit einbeziehen könnte. Ich könnte vielleicht auch die Stammfunktionen der Arkusfunktionen selbst verwenden, weil gebildet hab ich die ja bereits.
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Mir fallen zuerst einmal eine einfache und eine
anspruchsvollere innermathematische Aufgabe ein:
1.) Bei der Berechnung der Kreisfläche durch
ein gewöhnliches Integral stößt du sofort
auf ein Integral, das mit den früher gelernten
Integrationsregeln nicht oder nicht leicht zu
berechnen ist, mit den Stammfunktionen der
Arkusfunktionen aber sehr wohl. Das Beispiel
ist einfach, aber bestimmt lehrreich.
2.) Für die (näherungsweise) Berechnung der
Zahl [m]\pi[/m] mit hoher Genauigkeit gibt es
ein Näherungsverfahren, das auf einer Formel
von John Machin (1680-1752) beruht. Dabei
spielt die arctan-Funktion eine zentrale Rolle.
Diese Methode liesse sich gut auf dem Computer
oder auch auf dem Taschenrechner nachvoll-
ziehen.
Anwendungen in der Physik, wo die Arkusfunktionen
eine Rolle spielen, gibt es bestimmt reihenweise,
vor allem im Zusammenhang mit Differentialglei-
chungen. Hier fällt es mir aber nicht ganz so leicht,
Beispiele anzugeben, die prägnant, aber doch so
einfach sind, um den Rahmen deines Kurses nicht
zu sprengen. Frag dazu doch mal den Physiklehrer !
Ich denke, dass es z.B. bei der Frage nach den
Umlaufbahnen der Planeten geeignete Fragestellungen
geben könnte.
LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:29 Mo 06.10.2008 | | Autor: | dulac |
Vielen Dank für die Mitteilung!
Die Sache mit dem Kreisntegral hört sich schonmal nicht schlecht an. Weißt du zufällig ob es dafür auch irgendwo eine Beispielaufgabe gibt?
Aus der Physik hab ich bereits eine Anwendung gefunden bei der man mit Hilfe der Arkusfunktionen einen Brechungswinkel berechnen kann.
Aber ich denk mal je mehr desto besser! Deswegen schau ich mal wegen der Sache mit den Umlaufbahnen. Glücklicherweise ist mein Mathelehrer auch Physiklehrer. Von daher weiß er vielleicht was.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:06 Di 07.10.2008 | | Autor: | chrisno |
Das geht in eine ähnliche Richtung wie die Brechung:
Normalerweise beschreibt man die Grenzfläche zweier Medien als mathematische Fläche. Wenn diese beiden Medien sich etwas vermischen entsteht eine kontinuierliche Übergangsschicht. Für diese ist der arctan eine einfache Modellfunktion.
Ein ich glaube aber recht schwieriges Problem wäre nun den Weg eines Lichtstrahls durch diese Schicht zu berechnen.
Nehmen wir aber mal an, es hhandelt sich um zwei Flüssigkeiten unterscheidlicher Dichte. WIe tief taucht dann ein schwimmender Quader ein, dessen Unterseite sich in dieser Übergangsschicht befindet? Da wird ein Integral fällig.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 Mi 08.10.2008 | | Autor: | dulac |
Die Idee find ich sehr gut ! Da kann ich nämlich nochmal Bezug auf die Brechung nehmen! Aber es wird ziemlich schwierig sein ein solches Beispiel zu finden. Weißt du zufällig wie das ganze mit wissenschaftlicher Bezeichnung heißt? Oder noch besser: Kennst du eine Seite auf der sowas erklärt wird?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:29 Sa 11.10.2008 | | Autor: | chrisno |
Leider nein. Das habe ich vor so 15 Jahren in Diplomarbeiten anderer gelesen. Die Frage ist, wohin das führen soll.
Die Berechnung des Wegs eines Lichtstrahls durch so eine Übergangsschicht halte ich für recht aufwendig. Ich bin sehr skeptisch, ob das analytisch gelingt. Wenn nicht, dann musst Du auf die Numerik wechseln. Doch dann integrierst Du nicht mehr über den arctan.
Wenn es mit Licht sein soll, dann kannst Du ja auch die Absorption bei senkrechtem Einfall zur Grenzfläche berechnen.
Aber auch das wird schon heftig, weil Du dann über [mm] $e^x [/mm] arctan$ integrieren musst.
Also bleibe ich bei meiner Empfehlung: Nimm zwei Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte. Der Übergang von der einen Dichte zur anderen wird mit dem arctan modelliert. Dann berechne die mittlere Dichte eines Volumens, dass bei der reinen oberen Flüssigkeit beginnt und von dort bis zu einer Tiefe t reicht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 So 12.10.2008 | | Autor: | dulac |
Weißt du wirklich nicht wo ich so ein Beispiel mit dem Quader und den zwei Flüssigkeiten finden kann? Da muss es doch bestimmt entsprechende Literatur geben.
Mir würde schon der Name dieses Vorgangs helfen.
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Hallo!
Wo man sowas findet bzw wie sowas heißt, weiß ich nicht. Aber man kann es sich recht schnell zusammenschnitzen.
Angenommen, du hast eine Flüssigkeit der homogenen Dichte [mm] \rho.
[/mm]
Du tauchst nun einen Körper mit Querschnitt A=1cm² in die Flüssigkeit, und willst wissen, wieviel Flüssigkeit (als Gewichtsangabe!) verdrängt wird, denn das ist ja der Auftrieb!
wenn du dir eine waagerechte Scheibe mit Dicke dx des Stabes vorstellst, so hat dieses das Volumen $A*dx_$ und das Gewicht [mm] $\rho*A*dx_$. [/mm] Für die insgesamt verdrängte Flüssigkeitsmenge muß man das Gewicht all dieser Scheiben aufaddieren, das heißt, ein Integral bilden:
[mm] $M=\int_0^X\rho*A*dx_$ [/mm] wobei X die Eintauchtiefe ist. Du siehst schnell, daß das Ergebnis auch das ist was du ohne Integralrechnung erwartest, denn das Volumen kannst du ja auch einfach mit $V=X*A_$ berechnen.
Sowas kannst du als Beispiel zum Einstieg liefern!
Nun aber das, was hier gesagt wurde: [mm] \rho(x)=\rho_0+\frac{\Delta\rho}{\pi}*\arcsin(\beta(x-X_C))
[/mm]
Hierbei ist [mm] \rho_0 [/mm] die durchschnittliche Dichte von beiden Flüssigkeiten, und [mm] \Delta\rho [/mm] ist die Differenz beider Dichten. Dann noch [mm] X_C [/mm] , das ist die Tiefe, in der du eine 50:50-Mischung hast, wo die Dichte also genau [mm] \rho_0 [/mm] ist. Das [mm] \beta [/mm] ist ein Streckungsfaktor, der dir angibt, wie aprupt der Übergang von der einen Flüssigkeit zur anderen verlaufen soll. Ein großer Wert steht für einen sehr schnellen Übergang. Du kannst [mm] \beta [/mm] zunächst aber auch sicher erstmal weglassen.
Mach dich mit der Funktion vertraut, und spiele ein wenig mit den Parametern und laß dir die Funktion am Rechner ausgeben!
Naja, die eigentliche Aufgabe lautet nun [mm] $M=\int_0^X\rho(x)*A*dx_$ [/mm] , ist also etwas komplizierter geworden, und du hast da einen arcsin drin!
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