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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Fr 02.07.2010 | | Autor: | lilia25 |
| Aufgabe | Man betrachte [mm] g(z)=z+a-e^z, a\in\IR [/mm] a>1.
Füe r>2a sei R das achsenparallele abgeschloßene Rechteck in der linken
Halbebene, dessen Rand durch den Streckenzug [ir, -r+ir,-r-ir, -ir]
beschrieben wird. Verwenden Sie Rouche um zu zeigen, dass es genau eine
Nullstelle von g in R gibt. |
Hallo, liebes Forum!!
Ich weiß gar nicht wie ich hier anfangen soll. Satz von Rouche haben wir nur
für Funktionen angewendet, die ihre Nullstellen in einem Kreis liegen haben,
das habe ich eigentlich verstanden.
Jetzt gehts darum die Nullstellen einer Funktion in einem Rechteck zu finden
und ich sitze ratlos da... Ich habe versucht das Rechteck mit einem Halbkreis
mit dem Radius 2r umzuschreiben und dann den Satz anzuwenden, aber
dann werden die Gebiete mitgezählt die außerhalb des Rechtecks liegen.
Also geht das dann nicht...
Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand mir einen Tipp geben würde, wie
ich hier vorgehen sollte.
Herzlichen Dank im Voraus.
Gruß
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Der Satz von Rouché gilt nicht nur für Kreise, sondern auch für alle anderen vernünftigen geschlossenen Kurven, die die Ebene in Inneres und Äußeres teilen. Weise daher nach, daß für die Funktionen [mm]u,v[/mm] mit
[mm]u(z) = - \operatorname{e}^z \, , \ \ v(z) = z+a[/mm]
auf dem Rand [mm]\partial R[/mm] des Rechtecks stets
[mm]|v(z)| > |u(z)|[/mm]
gilt. Dann haben [mm]v[/mm] und [mm]u+v=g[/mm] dieselben Nullstellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Sa 03.07.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Leopold!!
Vielen-vielen Dank für deine Antwort!!
> [mm]u(z) = - \operatorname{e}^z \, , \ \ v(z) = z+a[/mm]
>
> auf dem Rand [mm]\partial R[/mm] des Rechtecks stets
>
> [mm]|v(z)| > |u(z)|[/mm]
Ich habe mir folgendes überlegt:
[mm] |v(z)|=|e^z|=|e^x(cos(y)+isin(y)|,
[/mm]
[mm] |cos(y)+isin(y)|\le{1}, |e^x|\le{|e^{-r}|}\to{0} [/mm] für r sehr groß.
[mm] |u(z)|=|z+a|=|x+a+iy|=(x+a)^2+y^2=(r+a)^2+r^2>(2a+a)^2+4a^2=13a^2>13, [/mm] da a>1. [mm] \Rightarrow [/mm] 0<13 [mm] \Rightarrow [/mm] |v(z)|>|u(z)|.
Ist das so richtig?
Noch mal riesen Danke schön!!
Gruß
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Du hast die Bezeichnungen geändert. Das ist nicht gerade hilfreich, wenn man miteinander kommunizieren will. Ich bleibe bei meinen Bezeichnungen:
[mm]u(z) = - \operatorname{e}^z \, , \ \ v(z) = z + a[/mm]
Eine Grenzwertbetrachtung genügt auf keinen Fall, denn auf der rechten Rechtecksseite hat [mm]u(z)[/mm] immer den Betrag 1. Und es sind ja stets die Werte auf dem Rand des Rechtecks miteinander zu vergleichen. Auch verstehe ich die zweite Abschätzung gar nicht.
Einfach einmal langsam anfangen! Zu viel auf einmal, davon die Hälfte falsch, bringt gar nichts.
Nehmen wir die rechte Kante des Rechtecks. Sie kann folgendermaßen parametrisiert werden:
[mm]z = \operatorname{i}t \, , \ \ -r \leq t \leq r[/mm]
Zunächst [mm]u(z)[/mm]:
[mm]|u(z)| = \left| - \operatorname{e}^{it} \right| = 1[/mm] (völlig unabhängig von [mm]r[/mm])
Jetzt [mm]v(z)[/mm]:
[mm]|v(z)| = \left| \operatorname{i}t + a \right| \geq a > 1[/mm]
Damit gilt [mm]|v(z)| > |u(z)|[/mm] für alle [mm]z[/mm], die auf der rechten Kante des Rechtecks liegen.
Jetzt die anderen Kanten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 Sa 03.07.2010 | | Autor: | lilia25 |
Hallo, Leopold!!
Ich wusste nicht ob ich das so parametrisieren darf.
jetzt habe ich es verstanden!!
Tausend Dank!!Echt nett von Dir!!
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:15 Di 06.07.2010 | | Autor: | Camille |
Hey,
kurze Nachfrage meinerseits.
> Der Satz von Rouché gilt nicht nur für Kreise, sondern
> auch für alle anderen vernünftigen geschlossenen Kurven,
> die die Ebene in Inneres und Äußeres teilen. Weise daher
> nach, daß für die Funktionen [mm]u,v[/mm] mit
>
> [mm]u(z) = - \operatorname{e}^z \, , \ \ v(z) = z+a[/mm]
>
> auf dem Rand [mm]\partial R[/mm] des Rechtecks stets
>
> [mm]|v(z)| > |u(z)|[/mm]
>
> gilt. Dann haben [mm]v[/mm] und [mm]u+v=g[/mm] dieselben Nullstellen.
Haben v und u+v dann wirklich dieselben Nullstellen oder einfach gleich viele?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:17 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hey,
>
> kurze Nachfrage meinerseits.
>
> > Der Satz von Rouché gilt nicht nur für Kreise, sondern
> > auch für alle anderen vernünftigen geschlossenen Kurven,
> > die die Ebene in Inneres und Äußeres teilen. Weise daher
> > nach, daß für die Funktionen [mm]u,v[/mm] mit
> >
> > [mm]u(z) = - \operatorname{e}^z \, , \ \ v(z) = z+a[/mm]
> >
> > auf dem Rand [mm]\partial R[/mm] des Rechtecks stets
> >
> > [mm]|v(z)| > |u(z)|[/mm]
> >
> > gilt. Dann haben [mm]v[/mm] und [mm]u+v=g[/mm] dieselben Nullstellen.
>
> Haben v und u+v dann wirklich dieselben Nullstellen oder
> einfach gleich viele?
..... gleichviele Nullstellen (entsprechend der Vielfachheit gezählt)....
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:25 Di 06.07.2010 | | Autor: | Camille |
Ok, in dem Fall hat v eine Nullstelle, nämlich [mm] z_0 [/mm] = -a. Daraus folgt dann, dass u+v ebenfalls eine Nullstelle besitzt, richtig?
Wie könnte ich nun nähere Angaben zu dieser Nullstelle gewinnen? Diese wird ja auf der reellen Achse liegen, nehme ich zum Beispiel an. Wie kann man sowas zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:39 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, in dem Fall hat v eine Nullstelle, nämlich [mm]z_0[/mm] = -a.
> Daraus folgt dann, dass u+v ebenfalls eine Nullstelle
> besitzt, richtig?
Ja
> Wie könnte ich nun nähere Angaben zu dieser Nullstelle
> gewinnen? Diese wird ja auf der reellen Achse liegen, nehme
> ich zum Beispiel an.
Da liegst Du falsch !
> Wie kann man sowas zeigen?
Gar nicht (s.o.)
Es iat ja a>1. Betrachte $f(x):= [mm] e^{-x}+x+a$ [/mm] für x [mm] \in \IR.
[/mm]
Mit der Ableitung von f überzeuge Dich davon, dass f auf [mm] (0,\infty) [/mm] wachsend ist und auf ( - [mm] \infty,0) [/mm] fallend ist. Weiter hat f in x=0 ein absolutes Minimum und f(0) =1+a>0
f hat somit auf der reellen Achse keine Nullstelle !!!
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:45 Di 06.07.2010 | | Autor: | Camille |
> > Ok, in dem Fall hat v eine Nullstelle, nämlich [mm]z_0[/mm] = -a.
> > Daraus folgt dann, dass u+v ebenfalls eine Nullstelle
> > besitzt, richtig?
>
>
> Ja
>
>
> > Wie könnte ich nun nähere Angaben zu dieser Nullstelle
> > gewinnen? Diese wird ja auf der reellen Achse liegen, nehme
> > ich zum Beispiel an.
>
> Da liegst Du falsch !
>
>
> > Wie kann man sowas zeigen?
>
>
> Gar nicht (s.o.)
>
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> Es iat ja a>1. Betrachte [mm]f(x):= e^{-x}+x+a[/mm] für x [mm]\in \IR.[/mm]
Warum betrachtest du [mm] e^{-x}+x+a [/mm] und nicht [mm] -e^{x}+x+a?
[/mm]
>
> Mit der Ableitung von f überzeuge Dich davon, dass f auf
> [mm](0,\infty)[/mm] wachsend ist und auf ( - [mm]\infty,0)[/mm] fallend ist.
> Weiter hat f in x=0 ein absolutes Minimum und f(0) =1+a>0
>
> f hat somit auf der reellen Achse keine Nullstelle !!!
>
>
> FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 Di 06.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Pardon, da hab ich mich vertan !
FRED
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