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Anwendung von Potenzen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:43 Mo 03.05.2010
Autor: labelleamour

Aufgabe
Die Seitenmitten eines gleichseitigen Dreiecks bilden jeweils die Eckpunkte des nächst kleineren Dreiecks. Das größte Dreieck hat die Seitenlänge 4cm.
a)Gib die Seitenlänge des 10ten (des 100ten,des n-ten) Dreiecks an.
b)Das wie vielte Dreieck hat die Seitenlänge [mm] \bruch{1}{1024}? [/mm] Erläutere dein Vorgehen.

Kann man für diese Aufgabenstellung nur ausprobieren, oder gibt es einen anderen Weg auf das Ergebnis zu kommen?
Vielen Dank schon einmal:)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
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Anwendung von Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Mo 03.05.2010
Autor: fred97

Das 1. Dreieck hat Seitelänge 4

Was ist die Seitenlänge des 2. Dreiecks ?

Was ist die Seitenlänge des 3. Dreiecks ?

.................................


mach Dir da mal paar Gedanken

FRED

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Anwendung von Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:06 Mo 03.05.2010
Autor: labelleamour

Hallo Fred, das ist dann immer die Hälfte ,das wusste ich auch schon vorher, aber ich weiß nicht wie ich das in meinen Taschenrechner eingeben soll. Sozusagen 4 geteilt durch 10 mal 2. Nur ich weiß halt nicht,wie man das eingeben kann...
Sarah

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Anwendung von Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Mo 03.05.2010
Autor: fred97

Seitenlänge des 1. Dreiecks = 4=4:1= [mm] 4:2^0 [/mm]

Seitenlänge des 2. Dreiecks = 4:2= [mm] 4:2^1 [/mm]

Seitenlänge des 3. Dreiecks = (4:2):2 [mm] =4:2^2 [/mm]

Seitenlänge des 4. Dreiecks = [mm] 4:2^3 [/mm]

.
.
.
.

Seitenlänge des 123. Dreiecks = [mm] 4:2^{122} [/mm]

Jetzt klar ?

FRED





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Anwendung von Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:24 Mo 03.05.2010
Autor: labelleamour

jap, ich denke du hast mir das ziemlich gut deutlich gemacht!:)
Heißt das für das n-te dreick: 4/2 hoch n -1?

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Anwendung von Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:27 Mo 03.05.2010
Autor: fred97


> jap, ich denke du hast mir das ziemlich gut deutlich
> gemacht!:)
>  Heißt das für das n-te dreick: 4/2 hoch n -1?

Ja, [mm] \bruch{4}{2^{n-1}} [/mm]

FRED

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Anwendung von Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Mo 03.05.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Fred schrieb ja völlig korrekterweise:

> Seitenlänge des 1. Dreiecks = 4=4:1= [mm]4:2^0[/mm]
> Seitenlänge des 2. Dreiecks = 4:2= [mm]4:2^1[/mm]
> Seitenlänge des 3. Dreiecks = (4:2):2 [mm]=4:2^2[/mm]
> Seitenlänge des 4. Dreiecks = [mm]4:2^3[/mm]
> .
>  .
>  .
>  .
> Seitenlänge des 123. Dreiecks = [mm]4:2^{122}[/mm]
> Jetzt klar ?

Wenn du jetzt noch beachtest, dass [mm] 4=2^{2}, [/mm] kannst du das ganze sogar noch vereinfachen, wenn du ein wenig mit den Potenzgesetzen herumspielst.

Also: Die [mm] \green{3} [/mm] Seitenlänge ist:

[mm] 4:2^{2}=4:2^{\green{3}-1}=2^{\red{2}}:2^{\green{3}-1}=2^{\red{2}-\blue{(}\green{3}\blue{-1)}}=2^{3-\green{3}} [/mm]

Was wäre denn dann die 8. Seitenlänge? Was die n-te?

Und welches n ergibt dann eine Seitenlänge von [mm] \bruch{1}{1024}=\bruch{1}{2^{10}}=2^{-10} [/mm]

Marius

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Anwendung von Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Mo 03.05.2010
Autor: labelleamour

dann müsste die [mm] 8.\bruch{1}{32} [/mm] sein und die neunte [mm] dann\bruch{1}{1024}. [/mm] Richtig?

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Anwendung von Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Mo 03.05.2010
Autor: leduart

Hallo
Nein.
Sag genau, was du gedacht bzw. gerechnet hast!
Gruss leduart

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Anwendung von Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Mo 03.05.2010
Autor: labelleamour

Habe ich im heft notiert, 2 hoch -10  ergibt [mm] \bruch{1}{1024}, [/mm] das reicht meinem Lehrer,denke ich und ich habs ja auch verstanden ,jetzt .
Aber danke nochmal an alle meine "Helfer":)

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Anwendung von Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Mo 03.05.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Nicht so schnell aufgeben, das ist nicht schwer. Wir hatten doch schon die Formel für die n-te Seitenlänge, nämlich [mm] 2^{3-n}. [/mm] Und damit willst du auf eine Seitenlänge von [mm] \bruch{1}{1024}=2^{-10} [/mm] kommen. Also hast du"nur" die Gleichung [mm] 2^{3-n}=2^{-10} [/mm] zu lösen, dann kommst du auch auf das n, was dann die gewünschte Seitenlänge hat.

Marius

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Anwendung von Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Mo 03.05.2010
Autor: labelleamour

Ja ,aber das habe ich doch schon! Ich weiß doch jetzt das ich beim 10.  mal auf das Ergebnis komme. 2 hoch 3 - 13.

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Anwendung von Potenzen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:48 Mo 03.05.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Sarah!


> Ja ,aber das habe ich doch schon! Ich weiß doch jetzt das
> ich beim 10.  mal auf das Ergebnis komme.

[notok] Da stimmt nicht.


> 2 hoch 3 - 13.

Das stimmt wieder. Du ziehst hier die 13 von 3 ab. Also ist es auch der 13. Schritt!


Gruß vom
Roadrunner


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Bezug
Anwendung von Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 Mo 03.05.2010
Autor: labelleamour

Aber 2 hoch -10 ist doch 1/1024 ,also ist es der 10. Schritt, würde ich sagen...

Bezug
                                                                                
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Anwendung von Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Mo 03.05.2010
Autor: fred97

Nochmal:

nach dem n-ten Schritt ist die Seitenlänge = [mm] 2^{3-n} [/mm]

Jetzt ist die Frage: nach vieviel schritten ist die Seitenlänge = [mm] 2^{-10} [/mm] ?

Bestimme also n so, dass [mm] 2^{3-n}= 2^{-10} [/mm]

Rechenregel: [mm] 2^a=2^b \gdw [/mm] a=b

FRED

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Bezug
Anwendung von Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Mo 03.05.2010
Autor: labelleamour

Dann also 2 hoch 3 -13,weil 3 positiv ist und man dann auf -10 kommt?

Bezug
                                                                                                
Bezug
Anwendung von Potenzen: richtig erkannt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Mo 03.05.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Sarah!


Genau, deshalb auch nach 13 Schritten, um damit auf die -10 zu kommen.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Anwendung von Potenzen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:50 Mo 03.05.2010
Autor: labelleamour

Gut Roadrunner, ich habe es zwar spät erkannt ,aber besser spät als nie;) danke.

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Bezug
Anwendung von Potenzen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:32 Mo 03.05.2010
Autor: labelleamour

Und wie löse ich Aufgabe b) rechnerisch?

Bezug
                
Bezug
Anwendung von Potenzen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:38 Mo 03.05.2010
Autor: M.Rex

Hallo

Ich schrieb doch weiter oben:

die n-te Seite hat die Seitenlänge [mm] 2^{3-n} [/mm]

Und [mm] \bruch{1}{1024}=2^{-10} [/mm]

Marius

Bezug
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