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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Mo 22.10.2007 | | Autor: | jennyf |
| Aufgabe | | Sei f eine ganze Funktion mit der folgenden Eigenschaft: Es existieren zwei [mm] \IR [/mm] linear unabhängige komplexe Zahlen [mm] z_{0} [/mm] und [mm] z_{1}, [/mm] so dass [mm] f(z+z_{0})=f(z) [/mm] und [mm] f(z+z_{1})=f(z) [/mm] für jedes z [mm] \in \IC. [/mm] Zeige, dass f konstant ist. |
Habe ein paar Lösungsfragen zu der oben gestellten Aufgabe.
Um zu zeigen, dass f konstant ist, kann ich ja den Satz von Liouville anwenden, der sagt, dass jede beschränkte ganze Funktion konstant ist.
Daher muss ich ja nur noch beschränkt zeigen, allerdings bereitet mir ganau das ein paar Schwierigkeiten.
Aus den obigen beiden Bedingungen [mm] f(z+z_{0})=f(z) [/mm] und [mm] f(z+z_{1})=f(z) [/mm] kommt man durch Umformungen etc. darauf, dass
i) [mm] f(z_{0})=f(\alpha z_{0})=f(\alpha z_{0}+z_{1})
[/mm]
ii) [mm] f(z_{1})=f(\alpha z_{1})=f(\alpha z_{1}+z_{0})
[/mm]
ist. Bringt mich das irgendwie weiter?
Ich muss ja irgendwie darauf kommen, dass es ein c gibt, so dass der Betrag von f(z)<c [mm] \forall [/mm] z [mm] \in \IC????
[/mm]
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$g: [mm] \IR^2 \rightarrow \IR: [/mm] g(x,y) = [mm] |f(xz_0+yz_1)|$
[/mm]
$g$ ist stetig, bildet daher die kompakte Menge $[0,1] x [0,1]$ auf eine kompakte Menge ab.
Zeige, dass eine $h$ existiert
$h: [mm] \IC\rightarrow\IR^2: [/mm] h(z) = (x,y)$ mit [mm] $z=xz_0+yz_1$ [/mm]
$h$ ist damit sogar eindeutig definiert.
zeige dass $g(x,y) = [mm] g(\{x\},\{y\})$ ($\{x\}$: [/mm] gebrochener Anteil von $x$ )
zeige dass [mm] $g\circ [/mm] h$ beschränkt ist.
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