Anwendung Satz Arzela-Ascoli < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Satz von Arzela-Ascoli lautet:
Für eine Folge [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] von Funktionen in C[a,b] (stetig), welche die beiden Bedingunen:
- [mm] $\sup_{n\in\IN}||f_{n}||_{\infty} [/mm] = [mm] \sup_{n\in\IN}\max_{x\in[a,b]}|f_{n}(x)| [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] (gleichmäßig beschränkt)
- [mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta_{\varepsilon} [/mm] > 0 [mm] \forall n\in\IN: \max_{x,x'\in[a,b], |x-x'|\le\delta_{\varepsilon}}|f_{n}(x)-f_{n}(x')| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] (gleichgradig stetig)
erfüllt, existiert eine Teilfolge [mm] (f_{n_{k}})_{k\in\IN}, [/mm] welche gegen ein [mm] f\in [/mm] C[a,b] konvergiert, d.h. [mm] ||f_{n_{k}}-f||_{\infty} \to [/mm] 0 [mm] (k\to\infty).
[/mm]
- 1.) Man zeige durch ein Gegenbeispiel, dass die im Satz von Arzela-Ascoli vorausgesetzte gleichmäßige Beschränkheit von [mm] (f_{n})_{n\in\IN} [/mm] eine notwendige Voraussetzung ist.
- 2.) Man wende den Satz auf die im Intervall [mm] [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [/mm] durch [mm] $f_{n}(x):=n*\sin(\frac{1}{n}*x)$ [/mm] definierte Funktionfolge an und finde Häufungspunkte von [mm] (f_{n}) [/mm] sowie den Limes der Teilfolge. |
Hallo!
Bei 1.) hatte ich gedacht, ich könnte das Gegenbeispiel
[mm] $f_{n}(x) [/mm] = n$
benutzen. Offensichtlich ist [mm] f_{n} [/mm] nicht gleichmäßig beschränkt, aber es ist gleichgradig stetig, da für beliebiges [mm] n\in\IN [/mm] dann [mm] $f_{n}(x)$ [/mm] eine konstante Funktion ist (diese ist insbesondere lipschitz-stetig mit L = 1, woraus, wie ich schon bewiesen habe, gleichgradige Stetigkeit folgt).
Dann hat jede Teilfolge [mm] (f_{n_{k}}) [/mm] die Form [mm] $f_{n_{k}} [/mm] = [mm] n_{k} \to \infty$ (k\to\infty), [/mm] d.h. auch diese Teilfolge kann nicht konvergieren. (?)
Ist das so okay? Mir gefällt das Ende noch nicht so ganz, denn eigentlich muss ich ja konkret zeigen, dass solch eine Grenzfunktion f nicht existieren kann.
Angenommen, f wäre solch eine Funktion, für die
[mm] $\max_{x\in[a,b]}|f_{n_{k}}(x) [/mm] - f(x)| [mm] \to [/mm] 0$ [mm] (k\to\infty)
[/mm]
gilt. Ich muss zeigen, dass es ein [mm] \varepsilon [/mm] gibt, sodass [mm] $\forall [/mm] N [mm] \in \IN \exists [/mm] k > N: [mm] \max_{x\in[a,b]}|f_{n_{k}}(x) [/mm] - f(x)| [mm] \ge \varepsilon$.
[/mm]
Wähle [mm] \varepsilon [/mm] = 1.
Da [mm] f\in [/mm] C[a,b], gibt es ein [mm] $K\in\IR$ [/mm] sodass $|f(x)| < K$ für alle [mm] $x\in [/mm] [a,b]$. Da [mm] $f_{n_{k}} \to \infty [/mm] $ für [mm] k\to\infty, [/mm] gibt es ein [mm] K_{2} [/mm] sodass für alle [mm] x\in[a,b] [/mm] gilt: [mm] $f_{n_{k}}(x) [/mm] = [mm] n_{k} [/mm] > K + 2$ für alle $k > [mm] K_{2}$.
[/mm]
Wähle ich nun $k = [mm] max(K_{2}, [/mm] N) > N$, so ist
[mm] $\max_{x\in[a,b]}|f_{n_{k}}(x) [/mm] - f(x)| [mm] \ge \max_{x\in[a,b]}(|f_{n_{k}}(x)| [/mm] - |f(x)|) = [mm] \max_{x\in[a,b]}(|f_{n_{k}}(x)|) [/mm] - [mm] \min_{x\in[a,b]}(|f(x)|) [/mm] = [mm] n_{k} [/mm] - [mm] \min_{x\in[a,b]}(|f(x)|) [/mm] > 2 [mm] \ge [/mm] 1 = [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Oder ist das viel zu umständlich?
Aufgabe 2.) später, wenn 1.) fertig ist  .
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:02 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Sieht gut aus, die Folge [mm] $f_{n}(x) [/mm] = n$ hätte ich auch genommen. Wenn Du Dich so mit dem Professor unterhälst, könntest Du beim "(?)" fertig sein, dem Übungsgruppenleiter wirst Du wohl noch Deine Ausführungen danach präsentieren müssen ^^;
Die letzte Gleichungskette ist nicht ganz stimmig, bzw. nur für die spezielle Funktionenfolge konstanter Funktionen richtig. Besser wäre es, wenn Du direkt nach dem ersten (Un)Gleichheitszeichen [mm] $f_{n_{k}}$ [/mm] einsetzt, sonst sieht es nach ein paar Regeln von max/min-Bildung aus, die ich im Moment nicht mit Sicherheit bezeugen könnte.
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Hallo AT-Colt,
danke für deine Antwort! Da werde ich das mal versuchen noch zu "kitten" und mich dann an die 2. Aufgabe machen
Grüße,
Stefan
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