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| Aufgabe | Zur Früherkennung einer Krankheit, die bei 2% der Bevölkerung auftritt, stehen zwei Verfahren zur Verfügung.
Bei Verfahren I zeigen 80% der Kranken und 1% der Gesunden eine Reaktion.
bei verfahren II zeigen 90% der Kranken und 20% der Gesunden eine Reaktion.
1. Bestimme für beiden verfahren die wahrscheinlichkeit für ein negatives Testergebnis
2. Welches verfahren ist sinnvoller, wenn man die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit negativem Test dennoch erkrankt ist minimieren möchte? |
okay..hier muss ich auf jeden Fall Bayes anwenden.
Ich bin mir bei meiner Überlegung nur nicht sicher, ob ich wirklich die Wahrscheinlichkeit eines negativen Testergebnisses bestimmt habe:
[mm] P(B_1)=0,98
[/mm]
[mm] P(B_2)=0,02
[/mm]
[mm] P(A|B_1)=0,01
[/mm]
[mm] P(A|B_2)=0,80
[/mm]
[mm] P(B_1|A)=\bruch{P(A|B_1)*P(B_1)}{P(A|B_1)*P(B_1)+P(A|B_2)*P(B_2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,001*0,98}{0,001*0,98+0,80*0,02}
[/mm]
=0,3798
Die wahrscheinlichkeit eines negativen Testergebnisses beträgt 37,98%.
Für den 2.Test gilt dann:
[mm] P(B_1)=0,98
[/mm]
[mm] P(B_2)=0,02
[/mm]
[mm] P(A|B_1)=0,20
[/mm]
[mm] P(A|B_2)=0,90
[/mm]
[mm] P(B_1|A)=\bruch{P(A|B_1)*P(B_1)}{P(A|B_1)*P(B_1)+P(A|B_2)*P(B_2)}
[/mm]
[mm] =\bruch{0,2*0,98}{0,2*0,98+0,90*0,2}
[/mm]
=0,4949
Also die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test ist 49,49% .
Kann das stimmen? Oder habe ich falsch berechnet?
Über Tipps wäre ich dankbar!
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Fr 02.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Zur Früherkennung einer Krankheit, die bei 2% der
> Bevölkerung auftritt, stehen zwei Verfahren zur
> Verfügung.
> Bei Verfahren I zeigen 80% der Kranken und 1% der Gesunden
> eine Reaktion.
> bei verfahren II zeigen 90% der Kranken und 20% der
> Gesunden eine Reaktion.
>
> 1. Bestimme für beiden verfahren die wahrscheinlichkeit
> für ein negatives Testergebnis
>
> 2. Welches verfahren ist sinnvoller, wenn man die
> Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit negativem Test
> dennoch erkrankt ist minimieren möchte?
>
> okay..hier muss ich auf jeden Fall Bayes anwenden.
> Ich bin mir bei meiner Überlegung nur nicht sicher, ob
> ich wirklich die Wahrscheinlichkeit eines negativen
> Testergebnisses bestimmt habe:
>
> [mm]P(B_1)=0,98[/mm]
> [mm]P(B_2)=0,02[/mm]
> [mm]P(A|B_1)=0,01[/mm]
> [mm]P(A|B_2)=0,80[/mm]
>
> [mm]P(B_1|A)=\bruch{P(A|B_1)*P(B_1)}{P(A|B_1)*P(B_1)+P(A|B_2)*P(B_2)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{0,001*0,98}{0,001*0,98+0,80*0,02}[/mm]
> =0,3798
>
> Die wahrscheinlichkeit eines negativen Testergebnisses
> beträgt 37,98%.
>
> Für den 2.Test gilt dann:
> [mm]P(B_1)=0,98[/mm]
> [mm]P(B_2)=0,02[/mm]
> [mm]P(A|B_1)=0,20[/mm]
> [mm]P(A|B_2)=0,90[/mm]
>
> [mm]P(B_1|A)=\bruch{P(A|B_1)*P(B_1)}{P(A|B_1)*P(B_1)+P(A|B_2)*P(B_2)}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{0,2*0,98}{0,2*0,98+0,90*0,2}[/mm]
> =0,4949
> Also die Wahrscheinlichkeit für einen negativen Test ist
> 49,49% .
>
> Kann das stimmen? Oder habe ich falsch berechnet?
>
> Über Tipps wäre ich dankbar!
>
> Mathegirl
Statt einer formalen Rechnung: Teste mit 10000 Personen.
200 sind krank, 9800 gesund.
80% von 200, also 160 Personen, zeigen eine Reaktion.
1% von 9800, also 98, zeigen auch eine Reaktion.
(160+98=)258 Prsonen zeigen eine Reaktion, das sind 2,58% der 10000 getesteten Personen. Also zeigen 97,42% keine Reaktion (negatives Testergebnis).
Gruß Abakus
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Okay, das habe ich verstanden, aber ich soll es ja formal testen. Wo liegt jetzt genau mein Fehler bzw wie setze ich richtig in die Bayes Formel ein?
Mathegirl
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Die Wahrscheinlichkeit eines negativen Testergebnisses ist kein Fall für Bayes, sondern die Formel der totalen Wahrscheinlichkeit. Für ein positives Ergebnis bekommst du
[mm] $P(A)=P(A|B_1)*P(B_1)+P(A|B_2)*P(B_2)$, [/mm] für ein negatives entsprechend
[mm] $P(\bar{A})=P(\bar{A}|B_1)*P(B_1)+P(\bar{A}|B_2)*P(B_2)=1-P(A)$
[/mm]
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okay, dann ist für Test I die Wahrscheinlichkeit eines negativen Testes 97,42% und für den Test II 97,86%.
Kann das stimmen?
Und wie ist der zweite Aufgabenteil zu verstehen? Welchen Ansatz kann ich dafür nutzen?
Mathegirl
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> okay, dann ist für Test I die Wahrscheinlichkeit eines
> negativen Testes 97,42% und für den Test II 97,86%.
>
> Kann das stimmen?
I ist richtig, bei II muss aber eine deutlich niedrigere Wahrscheinlichkeit rauskommen.
> Und wie ist der zweite Aufgabenteil zu verstehen? Welchen
> Ansatz kann ich dafür nutzen?
Hier kannst du jetzt Bayes anwenden. Gefragt ist [mm] P(B_2|\bar{A})
[/mm]
>
> Mathegirl
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Sorry, verrechnet, als müssen natürlich 78,6% sein beim 2.Test.
Mit Bayes zum 2.Aufgabenteil:
TestI:
[mm] 1-P(B_2|A)=0,3799 [/mm] -> 37,99%
Test II:
[mm] 1-P(B_2|A)=0,9159 [/mm] -> 91,51%
Kann das stimmen?
Wenn die wahrscheinlichkeit dass eine person erkrankt ist minimiert werden soll, ist Test 1 geeigneter.
Mathegirl
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> Sorry, verrechnet, als müssen natürlich 78,6% sein beim
> 2.Test.
>
> Mit Bayes zum 2.Aufgabenteil:
>
> TestI:
> [mm]1-P(B_2|A)=0,3799[/mm] -> 37,99%
>
> Test II:
> [mm]1-P(B_2|A)=0,9159[/mm] -> 91,51%
>
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>
> Kann das stimmen?
Nein, so stimmt das nicht. [mm] P(B_2|\bar{A}) [/mm] ist nicht [mm] 1-P(B_2|A).
[/mm]
Richtig wäre
[mm] $P(B_2|\bar{A})=\frac{P(\bar{A}|B_2)*P(B_2)}{P(\bar{A})}=\frac{(1-P(A|B_2))*P(B_2)}{P(\bar{A})}$
[/mm]
> Wenn die wahrscheinlichkeit dass eine person erkrankt ist
> minimiert werden soll, ist Test 1 geeigneter.
>
> Mathegirl
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Muss dann nicht auch im Nenner 1-P(A) stehen?
MfG
mathegil
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> Muss dann nicht auch im Nenner 1-P(A) stehen?
geht natürlich auch, da [mm] P(\bar{A})=1-P(A)
[/mm]
Da du aber im 1. Aufgabenteil schon [mm] P(\bar{A}) [/mm] ausgerechnet hast, kannst du die Werte dann direkt einsetzen.
>
> MfG
> mathegil
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okay, alles klar!
Vielen Dank für die Tipps! das hat mir gut geholfen. Viellicht kannst du mir noch Tipps geben zu meiner anderen Stochastik Aufgabe?
MfG
Mathegirl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mo 05.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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