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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Sa 26.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] $\alpha [/mm] > 0$ fest gewählt. Die Entwickung einer Population sei beschrieben durch die Differentialgleichung:
[mm] $y'=\alpha y-y^{2} [/mm] \ [mm] (y\ge [/mm] 0)$
Dabei stehe $y(t)$ für die Grösse der Population zum Zeitpunkt t. Bestimmen Sie die Lösung der Differentialgleichung zur Anfangsbedingung [mm] $y(0)=y_{0}>0$. [/mm] (Tipp: Unterscheiden Sie die drei Fälle [mm] $y_{0}<\alpha$, $y_{0}=\alpha$ [/mm] und [mm] $y_{0}> \alpha$).
[/mm]
Zeigen Sie, dass in jedem Fall für die Lösungsfunktion [mm] $\phi$ [/mm] gilt [mm] $\limes_{t\rightarrow \infty} \phi(t)=\alpha$. [/mm] |
Hallo,
[mm] $\frac{1}{\alpha y -y^{2}}dy=1dx$
[/mm]
danach mit Partialbruchzerlegung weiter und nach x auflösen, ist dieser Ansatz überhaupt richtig?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Sei [mm]\alpha > 0[/mm] fest gewählt. Die Entwickung einer
> Population sei beschrieben durch die Differentialgleichung:
>
> [mm]y'=\alpha y-y^{2} \ (y\ge 0)[/mm]
>
> Dabei stehe [mm]y(t)[/mm] für die Grösse der Population zum
> Zeitpunkt t. Bestimmen Sie die Lösung der
> Differentialgleichung zur Anfangsbedingung [mm]y(0)=y_{0}>0[/mm].
> (Tipp: Unterscheiden Sie die drei Fälle [mm]y_{0}<\alpha[/mm],
> [mm]y_{0}=\alpha[/mm] und [mm]y_{0}> \alpha[/mm]).
> Zeigen Sie, dass in jedem
> Fall für die Lösungsfunktion [mm]\phi[/mm] gilt
> [mm]\limes_{t\rightarrow \infty} \phi(t)=\alpha[/mm].
> Hallo,
>
> [mm]\frac{1}{\alpha y -y^{2}}dy=1dx[/mm]
>
> danach mit Partialbruchzerlegung weiter und nach x
> auflösen, ist dieser Ansatz überhaupt richtig?
>
Der Ansatz ist richtig.
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
>
> Danke und Gruss
>
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 So 27.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Mathepower,
> Der Ansatz ist richtig.
Ich komme mit Partialbruchzerlegung auf:
[mm] $\frac{-log(y-\alpha)+log(y)}{\alpha}=x+C$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y=(y-\alpha)e^{\alpha (x+C)}$
[/mm]
Wie kriege ich das nach y umgestellt? War meine PBZ etwa falsch??
>Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 So 27.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Mathepower,
>
>
> > Der Ansatz ist richtig.
>
>
> Ich komme mit Partialbruchzerlegung auf:
>
> [mm]\frac{-log(y-\alpha)+log(y)}{\alpha}=x+C[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y=(y-\alpha)e^{\alpha (x+C)}[/mm]
>
> Wie kriege ich das nach y umgestellt?
log(a)-log(b)= log(a/b)
> War meine PBZ etwa
> falsch??
Nein
FRED
>
> >Gruss
>
> Danke
>
> Gruss
>
> kushkush
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:39 So 27.02.2011 | | Autor: | kushkush |
> Nein
OK,
> log(a)-log(b)= log(a/b)
[mm] $b:=\alpha [/mm] (x+C)$
[mm] $\Rightarrow log(y)=log(ye^{b})-log(\alpha e^{b})$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow log(y)=b\frac{log(y)}{log(\alpha})$
[/mm]
Dann krieg ich ja irgendwas mit 1=... und das y ist weg?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:05 So 27.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
$ [mm] y=(y-\alpha)e^{\alpha (x+C)} [/mm] $
[mm] (y-a)/y=Ce^{-ax}
[/mm]
1-a/y= usw.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 27.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
[mm] $1-\frac{a}{y}=Ce^{-ax}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \frac{1}{y}=\frac{-Ce^{-ax}+1}{a}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y=\frac{a}{-Ce^{-ax}+1}$
[/mm]
Richtig? Das mit den Grenzwert=a für x gegen unendlich stimmt ja...
> Gruss
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 So 27.02.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Du hast richtig umgestellt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:29 So 27.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Loddar,
< Daumenhoch
Danke!!
Gruss
kushkush
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