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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Gegeben sei folgenden DGL für ein unbekanntes System:
[mm] x''(t)+\omega_0^2*x(t)=\omega_0^2*x_a(t)
[/mm]
Zu Beginn befinde sich das System in Ruhe.
Wie lautet die Antwort des Systems auf folgende Eingangsfunktionen
(1) [mm] x_{a1}(t)=\delta(t-T) [/mm] (Dirac-Stoß)
(2) [mm] x_{a2}(t)=m*t [/mm] (Rampenfunktion mit Steigung m) |
Hi!
Ich habe die Aufgabe nicht 100%ig abgetippt, da die Eingangsfunktionen als Graphen gegeben waren, sollten aber richtig sein. Ich möchte dieses Problem mit Hilfe von Laplace lösen, also:
Im folgenden nenne ich H(s) die Übertragungsfunktion und X(s) die Eingangsfunktion.
[mm] L\{x''(t)+\omega_0^2*x(t)\}=L\{\omega_0^2*x_a(t)\}
[/mm]
[mm] H(s)*s^2-s*x(0)-x'(0)+\omega_0^2*H(s)=\omega_0^2X(S)
[/mm]
[mm] \Rightarrow H(S)=\bruch{\omega_0^2*X(S)}{s^2+\omega_0^2}
[/mm]
(1):
[mm] L\{\delta(t-T)\}=e^{-sT} [/mm] (Nach Verschiebungssatz)
[mm] \Rightarrow H(S)=\bruch{\omega_0^2*e^{-sT}}{s^2+\omega_0^2}
[/mm]
Hierfür habe ich nun keine passende Korrospondenz gefunden. Muss/Soll ich dass dann per Hand über den Ansatz [mm] y(t)=\bruch{1}{2*\pi*j}\integral_{a+j\infty}^{a-j\infty}{H(S)*e^{st} dt} [/mm] lösen oder ist vorher schon irgendwo ein Fehler?
(2)
[mm] L\{m*t\}=\bruch{m}{s^2} [/mm] (habe ich ohne Korrospondenz, jedoch "per Hand hergeleitet, da in meinem Skript nur der Spezialfall für m=1 steht, sollte aber passen...)
[mm] \Rightarrow H(S)=\bruch{\bruch{m*\omega_0^2}{s^2}}{s^2+\omega_0^2}
[/mm]
Hier habe ich dann ein wenig umgeformt, aber finde wieder kein passendes Funktionspaar. Muss ich das dann auch per Hand machen?
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Hallo Pille456,
> Gegeben sei folgenden DGL für ein unbekanntes System:
> [mm]x''(t)+\omega_0^2*x(t)=\omega_0^2*x_a(t)[/mm]
> Zu Beginn befinde sich das System in Ruhe.
>
> Wie lautet die Antwort des Systems auf folgende
> Eingangsfunktionen
> (1) [mm]x_{a1}(t)=\delta(t-T)[/mm] (Dirac-Stoß)
> (2) [mm]x_{a2}(t)=m*t[/mm] (Rampenfunktion mit Steigung m)
>
> Hi!
>
> Ich habe die Aufgabe nicht 100%ig abgetippt, da die
> Eingangsfunktionen als Graphen gegeben waren, sollten aber
> richtig sein. Ich möchte dieses Problem mit Hilfe von
> Laplace lösen, also:
>
> Im folgenden nenne ich H(s) die Übertragungsfunktion und
> X(s) die Eingangsfunktion.
> [mm]L\{x''(t)+\omega_0^2*x(t)\}=L\{\omega_0^2*x_a(t)\}[/mm]
> [mm]H(s)*s^2-s*x(0)-x'(0)+\omega_0^2*H(s)=\omega_0^2X(S)[/mm]
> [mm]\Rightarrow H(S)=\bruch{\omega_0^2*X(S)}{s^2+\omega_0^2}[/mm]
>
> (1):
> [mm]L\{\delta(t-T)\}=e^{-sT}[/mm] (Nach Verschiebungssatz)
> [mm]\Rightarrow H(S)=\bruch{\omega_0^2*e^{-sT}}{s^2+\omega_0^2}[/mm]
>
> Hierfür habe ich nun keine passende Korrospondenz
> gefunden. Muss/Soll ich dass dann per Hand über den Ansatz
> [mm]y(t)=\bruch{1}{2*\pi*j}\integral_{a+j\infty}^{a-j\infty}{H(S)*e^{st} dt}[/mm]
> lösen oder ist vorher schon irgendwo ein Fehler?
Nein, Fehler ist da keiner.
Verwende für die Rücktransformation den ![[]](/images/popup.gif) Dämpfungssatz
>
> (2)
> [mm]L\{m*t\}=\bruch{m}{s^2}[/mm] (habe ich ohne Korrospondenz,
> jedoch "per Hand hergeleitet, da in meinem Skript nur der
> Spezialfall für m=1 steht, sollte aber passen...)
> [mm]\Rightarrow H(S)=\bruch{\bruch{m*\omega_0^2}{s^2}}{s^2+\omega_0^2}[/mm]
>
> Hier habe ich dann ein wenig umgeformt, aber finde wieder
> kein passendes Funktionspaar. Muss ich das dann auch per
> Hand machen?
Nein.
Hier hilft eine Zerlegung von H(s) in Partialbrüche.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 06.07.2011 | | Autor: | Pille456 |
Hio, danke für Deine Tips, bisher habe ich das hier raus:
(1) Eigentlich ziemlich dämlich von mir, denn [mm] e^{-sT} [/mm] bildet ja gerade eine Verschiebung im Zeitbereich ab, daher kann ich den Term erstmal vernachlässigen. Daher suche ich hierfür etwas:
[mm] H(S)=\bruch{\omega_0^2}{s^2+\omega_0^2}=\omega_0*\bruch{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}
[/mm]
Für hinteren Term steht bei mir im Skript:
[mm] sin(\omega_o*t)*\Gamma(t) [/mm] für Re{s}>0. Das Mathebuch meines Vertrauens sagt noch etwas allgemeiner: [mm] \bruch{1}{s^2+a^2} [/mm] ist passend zu [mm] \bruch{sin(a*t)}{a}. [/mm] Zweiteres ist etwas "hübscher", ich benutze aber mal das was im Skript steht:
Da man bei der Laplace-Transformation die Konstanten "rausziehen" darf, darf ich das insbesondere auch bei der inversen Laplace-Transformation, also gilt:
[mm] H(t-T)=sin(\omega_o*t-T)*\Gamma(t-T)*\omega_0. [/mm] Die Verschiebung kommt wegen dem [mm] e^{-sT} [/mm] im Bildbereich zustande. Passt das so?
(Anmerkung: Bei [mm] \Gamma(t) [/mm] handelt es sich um die Sprungfunktion mit [mm] \Gamma(t)=1 [/mm] für [mm] t\ge [/mm] 0 und [mm] \Gamma(t)=0 [/mm] sonst)
(2)
Ich habe Deinen Rat befolgt und eine Partialbruchzerlegung gemacht und erstmal hübsch eine Seite gerechnet. Die Rechnung erspare ich uns jetzt mal. Herauskam, dass der Term eine doppelte und 2 komplexe (konjugierte) Nullstellen hat. Die komplex konjugierten Nullstellen habe sich nach langem hin und her zu 0 zusammengerechnet (Ich hatte soetwas erwartet, gilt das aber allgemein auch bei einer Partialbruchzerlegung, dass sich komplex Konjugierte aufheben?)
Damit blieb über: [mm] H(S)=\bruch{m}{s^2}, [/mm] damit wäre [mm] H(t)=m\cdot{}t. [/mm] Hier hat sich [mm] \omega_0^2 [/mm] irgendwann herausgekürzt. Ich bin mir nicht sicher, ob dieses Ergebnis korrekt ist, passend würde es aber. Bei dem System handelt es sich um eine Masse die mit Hilfe einer Feder in eine Richtung gezogen wird. Beim Ziehen wirkt ja nur zu Beginn die Federkonstante C und später fungiert die Feder quasi wie ein Seil [mm] (\omega_0^2 [/mm] ergibt sich aus Federkonstante C und Masse m). Also irgendwo sinnvoll wäre das schon. Passt das mathematisch auch?
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Hallo Pille456,
> Hio, danke für Deine Tips, bisher habe ich das hier raus:
>
> (1) Eigentlich ziemlich dämlich von mir, denn [mm]e^{-sT}[/mm]
> bildet ja gerade eine Verschiebung im Zeitbereich ab, daher
> kann ich den Term erstmal vernachlässigen. Daher suche ich
> hierfür etwas:
>
> [mm]H(S)=\bruch{\omega_0^2}{s^2+\omega_0^2}=\omega_0*\bruch{\omega_0}{s^2+\omega_0^2}[/mm]
> Für hinteren Term steht bei mir im Skript:
> [mm]sin(\omega_o*t)*\Gamma(t)[/mm] für Re{s}>0. Das Mathebuch
> meines Vertrauens sagt noch etwas allgemeiner:
> [mm]\bruch{1}{s^2+a^2}[/mm] ist passend zu [mm]\bruch{sin(a*t)}{a}.[/mm]
> Zweiteres ist etwas "hübscher", ich benutze aber mal das
> was im Skript steht:
> Da man bei der Laplace-Transformation die Konstanten
> "rausziehen" darf, darf ich das insbesondere auch bei der
> inversen Laplace-Transformation, also gilt:
> [mm]H(t-T)=sin(\omega_o*t-T)*\Gamma(t-T)*\omega_0.[/mm] Die
> Verschiebung kommt wegen dem [mm]e^{-sT}[/mm] im Bildbereich
> zustande. Passt das so?
Ja, das passt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> (Anmerkung: Bei [mm]\Gamma(t)[/mm] handelt es sich um die
> Sprungfunktion mit [mm]\Gamma(t)=1[/mm] für [mm]t\ge[/mm] 0 und [mm]\Gamma(t)=0[/mm]
> sonst)
>
> (2)
> Ich habe Deinen Rat befolgt und eine Partialbruchzerlegung
> gemacht und erstmal hübsch eine Seite gerechnet. Die
> Rechnung erspare ich uns jetzt mal. Herauskam, dass der
> Term eine doppelte und 2 komplexe (konjugierte) Nullstellen
> hat. Die komplex konjugierten Nullstellen habe sich nach
> langem hin und her zu 0 zusammengerechnet (Ich hatte
> soetwas erwartet, gilt das aber allgemein auch bei einer
> Partialbruchzerlegung, dass sich komplex Konjugierte
> aufheben?)
> Damit blieb über: [mm]H(S)=\bruch{m}{s^2},[/mm] damit wäre
> [mm]H(t)=m\cdot{}t.[/mm] Hier hat sich [mm]\omega_0^2[/mm] irgendwann
> herausgekürzt. Ich bin mir nicht sicher, ob dieses
> Ergebnis korrekt ist, passend würde es aber. Bei dem
> System handelt es sich um eine Masse die mit Hilfe einer
> Feder in eine Richtung gezogen wird. Beim Ziehen wirkt ja
> nur zu Beginn die Federkonstante C und später fungiert die
> Feder quasi wie ein Seil [mm](\omega_0^2[/mm] ergibt sich aus
> Federkonstante C und Masse m). Also irgendwo sinnvoll wäre
> das schon. Passt das mathematisch auch?
Ja.
Gruss
MathePower
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