Ansatz der Inhomogenität < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Fr 29.06.2007 | | Autor: | janako |
| Aufgabe | | y'=ysin(x)+sin(x) |
Hallo,
Problem ist, dass man diese Aufgabe mit dem Ansatz der Inhomogenität lösen soll, aber der Ansatz A*sin(x) + B*cos(x) ist falsch. Das hat nicht nur der Prof gesagt, sondern man kommt auch im Koeffizientenvergleich auf einen Widerspruch. Hat da jemand eine Idee?! Wir haben schon mehreres versucht, kommen aber nicht auf die richtige Lösung und schreiben in 10 Tagen eine Klausur darüber, also, wäre sehr dankbar für jede Idee!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Fr 29.06.2007 | | Autor: | setine |
Hi Jana!
Habs zwar noch nicht selber probiert, aber es kann sein dass dieser Ansatz zum Ziel führt:
x*(A*sin(x)+B*cos(x))
Gruss, Setine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Fr 29.06.2007 | | Autor: | janako |
Hallo,
erstmal danke für den Tip, werde das gleich mal probieren! Aber wie würde ich denn sehen, dass der klassische Ansatz jetzt nicht zum Ziel führt? Wegen den 2 Sinustermen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Fr 29.06.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
> y'=ysin(x)+sin(x)
> Hallo,
> Problem ist, dass man diese Aufgabe mit dem Ansatz der
> Inhomogenität lösen soll, aber der Ansatz A*sin(x) +
> B*cos(x) ist falsch.
Einer meiner Profs sagte mal, die einfachste Methode zur Lösung von DGLs sei das Anstarren. 
Fang immer mit dem einfachsten Fall an und probier mal eine konstante Lösung [mm] y = C [/mm].
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Fr 29.06.2007 | | Autor: | janako |
Hallo...,
also wenns nach der Anstarrdauer ging, hätte ich sie schon längst gelöst
Was ist jetzt mit diesem Ansatz gemeint, Variation der Konstanten?
(hoffe das ist keine dumme Frage!)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:26 Fr 29.06.2007 | | Autor: | rainerS |
> Hallo...,
> also wenns nach der Anstarrdauer ging, hätte ich sie schon
> längst gelöst
Es ist die einfachste, aber nicht immer die schnellste Methode.
> Was ist jetzt mit diesem Ansatz gemeint, Variation der
> Konstanten?
Das ist bei komplizierteren Problemen sicher ein guter Weg. Er führt auch hier zum korrekten Ergebnis. Wenn man etwas Erfahrung hat, kann man einfache Fälle im Kopf durchprobieren. In diesem Fall hat sich gelohnt, der einfachste Fall [mm]y=constant[/mm] führt zu einer Lösung.
Deswegen habe ich das mit dem Anstarren halbwegs ernst gemeint. Es ist wichtig, zunächst die Struktur der DGL zu erkennen.
In deinem Problem
[mm] y' = y sin(x) + sin(x) [/mm] hast du eine inhomogene DGL. Du weisst, wie die allgemeine Lösung einer inhomogenen DGL bestimmt wird? Es ist immer eine Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen DGL und irgendeiner Lösung der inhomogenen DGL.
Die Lösung der homogenen DGL [mm] y' = y sin(x) [/mm] lässt sich durch Trennung der Variablen bestimmen:
[mm] \bruch{y'}{y} = sin(x)[/mm]
usw. Nennen wir sie für den Moment mal [mm]y_h(x)[/mm].
Mein Vorschlag [mm] y=C [/mm] bezieht sich auf den zweiten Teil: wenn du das in die inhomogene DGL [mm] y' = y sin(x) + sin(x) [/mm] einsetzt, siehst du, dass es für [mm]C=-1[/mm] eine Lösung ist. Nennen wir diese spezielle Lösung [mm]y_s(x) = -1[/mm].
Die allgemeine Lösung deiner DGL ist dann
[mm]y(x) = y_h(x) + y_s(x) = y_h(x) - 1[/mm]
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Fr 29.06.2007 | | Autor: | janako |
Also,
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!Die tatsächliche partikuläre Lösung ist auch -1. Wusste bisher nur nicht, wie man überhaupt darauf kommen konnte. Werde das jetzt nochmal angucken und versuchen auch darauf zu kommen! Wie man allgemein auf die Lösung einer inhomogenen Gleichung kommt, weiß ich schon. Im Normalfall Auf Trennung bin ich aber hier nicht gekommen.
Kurze Frage: Wie kommt man überhaupt darauf, dass man hier nicht den üblichen Ansatz A*sinx + B* cosx nehmen kann für die partikuläre Lösung?
Viele Grüße
Jana
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 Fr 29.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
mit einem kurzen Blick sieht man, dass der Ansatz wegen y*sinx schief gehen muss.
dagegen zu probieren, was passiert wenn y'=0 ist ist doch gut.
solltest du dir merken, auch wenn es mal nicht geht ist das schnell überprüft!
Warum findest du, dass das ein guter Ansatz ist? doch nur, wenn bei y und y' nur konstanten stehen, sonst nie!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Fr 29.06.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Jana,
> Kurze Frage: Wie kommt man überhaupt darauf, dass man hier
> nicht den üblichen Ansatz A*sinx + B* cosx nehmen kann für
> die partikuläre Lösung?
Gegenfrage: warum ist das der "übliche Ansatz"?
Wenn ich es einsetze, klappt's nicht. Anschaulich kann man sich das so vorstellen:
[mm]A*\sin x + B* \cos x [/mm]
ist ein periodische Funktion (Schwingung). Von den drei Termen der DGL ist [mm]y \sin x[/mm] eine Schwingung mit doppelter Frequenz. Die anderen beiden Terme [mm]y'[/mm] und [mm]\sin x[/mm] sind aber wieder Schwingungen mit der ursprünglichen Frequenz. Das kann nicht zusammenpassen.
Übrigens bekommst du die partikuläre Lösung auch durch Variation der Konstanten, dauert nur länger.
Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:49 Sa 30.06.2007 | | Autor: | janako |
Hallo,
vielen Dank für die anschauliche Antwort! Habs inzwischen auch gelöst mit dem Ansatz Y=C, war wirklich ganz einfach, nur wär ich nicht drauf gekommen
Als Übung werde ich das auch mal mit Variation der Konstanten rechnen, kann ja vor Klausuren nicht schaden ein wenig Übung zu bekommen.
Viele Grüße
Jana
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