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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 So 07.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
ich habe hier eine Lösung einer Differentialgleichung:
[mm] C(z)=e^{\pm \sqrt{a^2+b^2}z}
[/mm]
Nun soll laut Randbedingung gelten: C(0)=0
Woraus geschlossen wird, dass dies nur geht, wenn [mm] C(z)=sinh(\sqrt{a^2+b^2}z)
[/mm]
ist.
Dies kann ich aber nicht nachvollziehen. Man hat doch als Lösung
[mm] C(z)=e^{\pm \sqrt{a^2+b^2}z} [/mm] raus und nicht irgendwas mit sinh. [mm] (sinh(z)=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}))
[/mm]
Viele Grüße,
Rutzel
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Hallo Rutzel,
> Hallo,
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> ich habe hier eine Lösung einer Differentialgleichung:
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> [mm]C(z)=e^{\pm \sqrt{a^2+b^2}z}[/mm]
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> Nun soll laut Randbedingung gelten: C(0)=0
>
> Woraus geschlossen wird, dass dies nur geht, wenn
> [mm]C(z)=sinh(\sqrt{a^2+b^2}z)[/mm]
> ist.
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> Dies kann ich aber nicht nachvollziehen. Man hat doch als
> Lösung
> [mm]C(z)=e^{\pm \sqrt{a^2+b^2}z}[/mm] raus und nicht irgendwas mit
> sinh. [mm](sinh(z)=\frac{1}{2}(e^z-e^{-z}))[/mm]
Ich nehme an diese Lösung ist so gemeint:
[mm]C\left(z\right)=D_{1}*e^{\wurzel{a^{2}+b^{2}}z}+D_{2}*e^{-\wurzel{a^{2}+b^{2}}z}[/mm]
Aus der Randbedingung [mm]C\left(0\right)=0[/mm] folgt
[mm]D_{1}+D_{2}=0 \Rightarrow D_{2}=-D_{1}[/mm]
Damit ergibt sich
[mm]C\left(z\right)=D_{1}*e^{\wurzel{a^{2}+b^{2}}z}-D_{1}*e^{-\wurzel{a^{2}+b^{2}}z}[/mm]
[mm] \gdw C\left(z\right)=D_{1}*\left(e^{\wurzel{a^{2}+b^{2}}z}-e^{-\wurzel{a^{2}+b^{2}}z}\right)[/mm]
Da
[mm]e^{u}-e^{-u}=2*\operatorname{sinh}\left(u\right)[/mm]
ist
[mm]C\left(z\right)=D_{1}*2*\operatorname{sinh}\left(\wurzel{a^{2}+b^{2}}z\right)[/mm]
Mit [mm]D=2*D_{1}[/mm] folgt:
[mm]C\left(z\right)=D*\operatorname{sinh}\left(\wurzel{a^{2}+b^{2}}z\right)[/mm]
>
> Viele Grüße,
> Rutzel
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 So 07.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
vielen Dank!
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