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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:33 Do 15.10.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion nach n [mm] \in \IN: [/mm] Es gibt genau
n! Möglichkeiten, n paarweise verschiedene Objekte [mm] a_1, [/mm] . . . , [mm] a_n [/mm] anzuordnen. |
Ich komm gerade nicht mehr mit der mathematisierung der aussage, n paarweise verschiedene objekte zurande...
mein ansatz:
I.A.: n=1
1! := 1
- Es gibt logischerweise nur eine Möglichkeit ein Objekt anzuordnen.
I.V.: Es gibt n! Möglichkeiten, n paarweise verschiedene Objekte anzuordnen.
I.B.: (n+1)! = (n+1)*n! = ...
und ab hier weiß ich nicht weiter. Klar hier könnt ich irgendwas hinwurschteln, aber ohne nen Mathematischen Ausdruck für n paarweise verschiedene objekte anordnen fühl ich mich eher wie in ner gedichtsinterpretation als in mathe...
wäre toll wenn mir da wer auf die sprünge helfen könnte, ich denk auch fleißig drüber nach...
mfg die maxi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Do 15.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
nach IV gibt es $n!_$ Moeglichkeiten, $n_$ Dinge anzuordnen. Stelle dir
eine Anordnung [mm] $a_{k_1},\dots,a_{k_n}$ [/mm] von [mm] $a_1,\dots,a_n$ [/mm] vor.
Wieviele Moeglichkeiten gibt es, das Objekt [mm] $a_{n+1}$ [/mm] einzufuegen?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Sa 17.10.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hey, mir ist schon klar das dem so ist.
ich kann [mm] a_{n+1} [/mm] hinter jedes [mm] a_i [/mm] schieben, also n mal und noch einmal vor [mm] a_1 [/mm] also n+1 mehr möglichkeiten. aber das so zu schreiben ist ja keine saubere induktion, oder?
aber genau da liegt mein problem, ich würde das gern so machen das es aussieht als hätte es auch ein prof machen können...
mfg und danke erstmal die maxi.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Sa 17.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> aber genau da liegt mein problem, ich würde das gern so
> machen das es aussieht als hätte es auch ein prof machen
> können...
>
Gut. Dann versuchen wir es mal so. Sei $\mathcal{P}_{n+1}$ die Menge der Anordnungen von $n+1_$ Objekten $a_1,\dots,a_n,a_{n+1}$ und $\mathcal{M}_{n+1}$ sei Menge der Anordnungen, die auf die oben beschriebene Weise zustande gekommen ist. Wir haben nach Induktion bewiesen, dass $\mathcal{M}_{n+1}$ $(n+1)!_$ Elemente hat. Wir haben die Behauptung bewiesen, wenn gilt $\mathcal{P}_{n+1}=\mathcal{M}_{n+1}$. Offenbar gilt $\mathcal{P}_{n+1}\supset\mathcal{M}_{n+1}$. Sei nun noch $(a_{j_1},\dots,a_{j_n},a_{j_{n+1}})\in \mathcal{P}_{n+1}$. Angenommen, es gilt $a_{n+1}=a_{j_k}$. Dann ist $(a_{j_1},\dots,a_{j_{k-1}},a_{j_{k+1}},\dots,{a_{j_n},a_{j_{n+1}})$ eine Permutation, von $(a_1,\dots,a_n)$. Damit ist aber auch $(a_{j_1},\dots,a_{j_n},a_{j_{n+1}})\in \mathcal{M}_{n+1}$. , qed.
Ist dir das professoral genug?
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Sa 17.10.2009 | | Autor: | maxi85 |
Zumindest soweiT, dass ich es gerad kaum noch verstehe. aber is ja auch schon spät. ich guck mir das morgen mal in ruhe an und schreib dann evt. noch ne frage dazu.
danke dir auf jeden fall!
mfg die maxi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Sa 17.10.2009 | | Autor: | luis52 |
> Zumindest soweiT, dass ich es gerad kaum noch verstehe.
War das nicht ein Kriterium? 
vg Luis
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Habe genau die gleiche Aufgabe. Wieß aber schon gar nicht was mit "n paarweise verschiedene Objekte a1, ....,an anzuordnen" gemeint ist. Außerdem gibt es ja noch die Einschränkung (?): Es ist n!=n(n-1)(n-2)* ....1.
Wie mach ich denn dann nach dem IA weiter?
LG, Katja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Mo 19.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Katja,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Fuer die 3 Dinge [mm] $a_1=1,a_2=2,a_3=3$ [/mm] gibt es sechs moegliche Anordnungen:
| 1: | [1,] 1 2 3
| | 2: | [2,] 2 1 3
| | 3: | [3,] 2 3 1
| | 4: | [4,] 1 3 2
| | 5: | [5,] 3 1 2
| | 6: | [6,] 3 2 1
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vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Mo 19.10.2009 | | Autor: | maxi85 |
Hey Luis, ich hab mir das was du geschrieben hast nochmal durch den kopf gehen lassen und es in meine sprache übersetzt. wäre toll wenn du mal drübergucken könntest und mir sagen könntest ob das so ok ist.
I.A.: n=1
1! := 1
- Es gibt logischerweise nur eine Möglichkeit ein Objekt anzuordnen.
I.V.: Es gibt n! Möglichkeiten, n paarweise verschiedene Objekte anzuordnen.
I.B.:
Sei [mm] P_{n+1} [/mm] die Menge aller Anordnungen von n+1 Objekten [mm] a_1,...,a_n,a_{n+1}.
[/mm]
Nach I.V. wissen wir, dass # [mm] P_n=n! [/mm] ist. Weiter ist [mm] a_1,...,a_n \in P_n. [/mm] Offensichtlich gibt es n+1 Möglichkeiten das Objekt [mm] a_{n+1} [/mm] in jedem [mm] P_i [/mm] anzuordnen.
[mm] (a_{n+1},a_1,...,a_n [/mm] ; [mm] a_1,a_{n+1},a_2,...,a_n [/mm] ; ... ; [mm] a_1,...,a_n,a_{n+1}).
[/mm]
Es gilt also offensichtlich, dass # [mm] P_{n+1}=# P_n [/mm] * (n+1) = n!*(n+1)=(n+1)!
qed.
Anm.: # [mm] P_n [/mm] meint die anzahl der anordnungen die für [mm] p_n [/mm] möglich ist.
geht das so, oder hab ich irgendeinen zwischenschritt der mathematisch gesehen schrott ist?
mfg die Maxi
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Danke erst mal für die Hilfe, muss mich in das ganze echt erst wieder rein denke *ahhh*
Aber muss ich nicht bei der vollständigen Induktion im nach der IA n+1 für alle n einsetzen. Komme einfach nicht weiter...
habe jetzt:
IA: n=1
1!=1 w.A.
IS: Annahme gilt auch für n+1
(n+1)!=(n+1)*((n+1)-1)*((n+1)-2)*...*1
wenn ich jetzt für n eine beliebige natürlich Zahl einsetze haut das auch hin, ist ja aber noch kein richtiger Beweis. Irgendeine Idee wie es hier weiter geht oder ist das total falsch?
LG, Katja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:19 Mo 19.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Siehe den Beweis von Maxi.
vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mo 19.10.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> geht das so, oder hab ich irgendeinen zwischenschritt der
> mathematisch gesehen schrott ist?
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A4t_%28Mathematik%29