Annulator und lin.Abb. < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:55 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | | Es sei f: V->W eine lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen K-Vr. man zeige: [mm] Bild(f^t) [/mm] = Kern(f)° und [mm] Kern(f^t) [/mm] = Bild (f)° |
hi!
vor der aufgabe hab ich noch ne frage zu dem annulator, weiß nicht genau ob man das für den beweis braucht?
wir haben das so definiert:
Es sei V ein K-VR.
a) für eine Teilmenge M [mm] \subseteq [/mm] V setze man M°:={f aus V*|f(m) = 0 für alle m aus M}
Dann ist M° ein UVR von V*; er heißt Annulator von M.
b) für eine Teilmenge F [mm] \subseteq [/mm] V* setze man F^# :={a aus V|f(a)= 0 für alle f aus F}
ich versteh noch nicht ganz, was es damit auf sich hat?
ist also M° die Menge der Linearformen aus V* die Elemente m aus M aus V auf 0 abbildet? und bei b) ist das grad andersrum?
brauch ich das für den beweis? ist Kern(f)° der Annulator von Kern(f) ?
ganz viele dank schon mal im vorraus ! :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Di 02.05.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo riley,
was verstehst du denn unter [mm] $f^t$?
[/mm]
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Di 02.05.2006 | | Autor: | Riley |
unter dem "t" versteh ich eigentlich "transponiert" ... aber wie und ob man eine abbildung transponieren kann weiß ich nicht... kenn das nur von den matrizen...
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Hi riley,
wenn man sich die aufgabe genauer anguckt, dann macht das sinn, ja. Hat man eine lineare abb. [mm] $f:V\to [/mm] W$, so induziert diese eine abbildung [mm] $f^t:W^\*\to V^\*$, [/mm] indem [mm] $f^t(w^\*)(v):=w^\*(f(v))$ [/mm] definiert wird. (dies abbildung kann man wohl transponierte oder auch adjungierte nennen)
wenn man das verstanden hat, ist zB. der zweite teil der aufgabe fast nur einsetzen:
[mm] $w^\*\in \ker (f^t) \gdw f^t(w^\*)=0 \gdw \forall v\in [/mm] V: [mm] f^t(w^\*)(v)=0$ [/mm]
[mm] $\gdw \forall v\in V:w^\*(f(v))=0 \gdw w^\* \in (\operatorname{im} f)^\circ$
[/mm]
So ähnlich geht der erste Teil auch.... 
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 03.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!
cool, ganz vielen dank für deine erklärungen... das ist ja complicated...
du schreibst, dass eine lineare Abb f: V->W die Abbildung [mm] f^t [/mm] induziert.
das geht irgendwie noch nicht ganz in mein kopf rein...., [mm] f^t [/mm] ist doch dann eine Abbildung von einer Linearform aus V* auf eine in W*, oder?
aber wie hängt die mit V-> W zusammen?
und diese definition, hat die damit was zu tun: V**(f) = f(v) mit ( f aus v**) ?
danke dir...
gruß
riley :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:37 Mi 03.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> du schreibst, dass eine lineare Abb f: V->W die Abbildung
> [mm]f^t[/mm] induziert.
> das geht irgendwie noch nicht ganz in mein kopf rein....,
> [mm]f^t[/mm] ist doch dann eine Abbildung von einer Linearform aus
> V* auf eine in W*, oder?
Nein, sie bildet eine Linearform aus [mm] $W^\ast$ [/mm] auf eine Linearform aus [mm] $V^\ast$ [/mm] ab. Wie Matthias schon geschrieben hat.
> aber wie hängt die mit V-> W zusammen?
Das hat Matthias auch geschrieben. Lies dir sein Posting nochmal durch.
> und diese definition, hat die damit was zu tun: V**(f) =
> f(v) mit ( f aus v**) ?
Kann es sein, dass du hier die Gross-/Kleinschreibung von $v$ beliebig durcheinanderwuerfelst?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 Do 04.05.2006 | | Autor: | Riley |
hi felix!
danke für deine antwort.
ja, das problem ist nur ich kann mir unter der definition noch nicht wirklich was vorstellen, warum definiert man das so?
[mm] f^t(w [/mm] *)(v):=w *(f(v))
bedeutet das, dass ich einmal abbilde [mm] f^t(w [/mm] *), dann hab ich ein element aus V* , oder? und dann das von (v), bekomm ich dann ein element aus dem Körper?
und die rechte seite der gleichung bedeutet dass ich zuerst f(v) bilde, d.h ich bekomm ein element aus W und dann w *(w) wieder ein körperelement??
was heißt denn das "induziert" genau? heißt das, dass ich aus einer abbildung f (V->W) die Abbildung [mm] f^t [/mm] bekomm?
ja tut mir leid, ich meinte eigentlich V**(f) = f(v) und f aus V**
bei dem beweis versteh ich den 2.schritt nicht ganz:
[mm] f^t(w [/mm] *)=0 [mm] \gdw \forall v\in [/mm] V: [mm] f^t(w [/mm] *)(v)=0
also wenn w* aus dem [mm] Kern(f^t) [/mm] ist, dann ist klar, dass [mm] f^t(w [/mm] *)=0 , aber warum werden die v aus V auch auf 0 abgebildet?
gaanz vielen tausend dank für eure hilfe!!!
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Hallo,
> hi felix!
> danke für deine antwort.
> ja, das problem ist nur ich kann mir unter der definition
> noch nicht wirklich was vorstellen, warum definiert man das
> so?
> [mm]f^t(w[/mm] *)(v):=w *(f(v))
Die Frage 'warum?' sollte man sich imho bei dualräumen als anfänger nicht stellen.....
> bedeutet das, dass ich einmal abbilde [mm]f^t(w[/mm] *), dann hab
> ich ein element aus V* , oder? und dann das von (v), bekomm
> ich dann ein element aus dem Körper?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> und die rechte seite der gleichung bedeutet dass ich
> zuerst f(v) bilde, d.h ich bekomm ein element aus W und
> dann w *(w) wieder ein körperelement??
> was heißt denn das "induziert" genau? heißt das, dass ich
> aus einer abbildung f (V->W) die Abbildung [mm]f^t[/mm] bekomm?
'induziert' heißt, dass man die funktion [mm] $f^t$ [/mm] ziemlich direkt von $f$ ableiten kann. ne bessere definition weiß ich auch nicht....
> ja tut mir leid, ich meinte eigentlich V**(f) = f(v) und f
> aus V**
>
> bei dem beweis versteh ich den 2.schritt nicht ganz:
> [mm]f^t(w[/mm] *)=0 [mm]\gdw \forall v\in[/mm] V: [mm]f^t(w[/mm] *)(v)=0
>
> also wenn w* aus dem [mm]Kern(f^t)[/mm] ist, dann ist klar, dass
> [mm]f^t(w[/mm] *)=0 , aber warum werden die v aus V auch auf 0
> abgebildet?
[mm] $f^t(w^\*)$ [/mm] ist ja eine linearform aus [mm] $V^\*$. [/mm] und so eine ist per definitionem $=0$, wenn sie alle vektoren aus $V$ auf die $0$ abbildet.
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 04.05.2006 | | Autor: | Riley |
Hi Matthias!!
danke für deine erklärungen!!
schade, aber was heißt denn "imho" ?
ah okay, und wie kommt man dann darauf, dass für alle v aus V: w * (f(v))=0 ist? f(v) bildet doch ein Element von V nach W ab, und w* bildet dieses Element aus W auf die 0 ab, aber warum auf die 0?
lg riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Do 04.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Riley!
> schade, aber was heißt denn "imho" ?
Tipp es doch mal bei google rein und nimm z.B. einen der ersten drei Treffer. Ist bei unbekannten Abkuerzungen/Woertern oft hilfreich 
LG Felix
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imho = in my humble opinion, nur um diesen Thread abzuschließen, schließlich kannst du deine Fragen nicht selbst beanworten ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Do 04.05.2006 | | Autor: | felixf |
> imho = in my humble opinion, nur um diesen Thread
> abzuschließen, schließlich kannst du deine Fragen nicht
> selbst beanworten ^^
Und was ist mit Rileys eigentlicher Frage:
ah okay, und wie kommt man dann darauf, dass für alle v aus V: w * (f(v))=0 ist? f(v) bildet doch ein Element von V nach W ab, und w* bildet dieses Element aus W auf die 0 ab, aber warum auf die 0?
Soll die einfach unbeantwortet bleiben?
LG Felix
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Hallo riley,
> ah okay, und wie kommt man dann darauf, dass für alle v aus
> V: w * (f(v))=0 ist? f(v) bildet doch ein Element von V
> nach W ab, und w* bildet dieses Element aus W auf die 0 ab,
> aber warum auf die 0?
im beweis steht:
[mm] $f^t(w^\*)(v)=0 \gdw w^\*(f(v))=0,\forall v\in [/mm] V$
Das ist nichts anderes als die definition der transponierten abbildung, schau dir die nochmal gut an.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:41 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Riley |
hi matthias
ah okay, stimmt, das muss ich mir nochmal wirklich gut anschaun...
danke dir vielmals für deine hilfe!!
gruß riley :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 09.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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