Annuitätentilgung, n=? < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:55 Mo 22.10.2007 | | Autor: | mica |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Jemand nimmt einen Kredit über 200 000 Euro zum 1.1. auf. Für Zinsen und Tilgung sollen jährlich 15000 euro aufgebracht werden.
1. wie hoch ist die Gesamtlaufzeit bei 7.4% Zinsen p.a.
2. wie hoch ist die Gesamtlaufzeit bei 8% |
Also, mir ist schon klar, dass es bei dieser aufgabe um eine konstante annuitätentilgung geht, und ich habe auch die Formel dafür
[mm]A= [mm] K_0 \times \br {q^n \times (q - 1)} {q^n - 1 } [/mm]
Aber wie stell ich die nun nach n um?
Ich hab schon so einiges durchprobiert, und irgendwie will die lösung einfach nicht stimmen!
Wäre dankbar um jede hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:08 Mo 22.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Mica und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Das ist wirklich eine relativ schwere Aufgabe, das umzuformen.
Aber es geht, mit einigen Tricks.
Also:
[mm] A=K_{0}*\bruch{q^{n}*(q-1)}{q^{n}-1} |:K_{0}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{A}{K_{0}}=\bruch{q^{n}*(q-1)}{q^{n}-1} [/mm] |:(q-1)
[mm] \gdw\bruch{A}{K_{0}(q-1)}=\bruch{q^{n}}{q^{n}-1} [/mm] |Kehrwert
[mm] \gdw\bruch{K_{0}(q-1)}{A}=\bruch{q^{n}-1}{q^{n}} [/mm] | Umformen
[mm] \gdw\bruch{K_{0}(q-1)}{A}=\bruch{q^{n}}{q^{n}}-\bruch{1}{q^{n}}
[/mm]
[mm] \gdw\bruch{K_{0}(q-1)}{A}=1-\bruch{1}{q^{n}} [/mm] |-1
[mm] \gdw\bruch{K_{0}(q-1)}{A}-1=-\bruch{1}{q^{n}} [/mm] |*(-1)
[mm] \gdw-\bruch{K_{0}(q-1)}{A}+1=\bruch{1}{q^{n}} [/mm] |Kehrwert
[mm] \gdw-\bruch{1}{\bruch{K_{0}(q-1)}{A}+1}=q^{n} [/mm] |Logarithmieren
[mm] \gdw log_{q}(-\bruch{1}{\bruch{K_{0}(q-1)}{A}+1})=n
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mo 22.10.2007 | | Autor: | mica |
Hey, danke für die super schnelle antwort!
Ich hab dann nur eine kleine verständnisfrage, und zwar weiß ich ab deiner 8. Zeile, also dort wo du das zweit mal den kehrwert nimmst nicht so ganz wie du auf die 1 über dem Bruchstrich kommst.
Also du nimmst den kehrwert und dann um [mm][mm] q^n[/mm] [mm] alleine zu haben nimmst du mal 1???? hab ich das richtig verstanden?
Und dann nimmst du den Logarithmus von q geteilt durch den logarithmus von allem andern und ich hab n? Richtig???
Hoffe ich hab das jetzt so richtig verstanden und red hier keinen mist!
Trotzdem schon mal vielen Dank!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:55 Mo 22.10.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Meinst du den Schritt?
$ [mm] \gdw-\bruch{K_{0}(q-1)}{A}+1=\bruch{1}{q^{n}} [/mm] $ |Kehrwert
$ [mm] \gdw-\bruch{1}{\bruch{K_{0}(q-1)}{A}+1}=q^{n} [/mm] $ |Logarithmieren
Wenn ich in der Gleichung [mm] a=\bruch{1}{b} [/mm] nach b auflösen soll, kann ich das ganze in zwei Schritten tun.
[mm] a=\bruch{1}{b} [/mm] *b
ab=1 |:a
[mm] b=\bruch{1}{a}
[/mm]
Oder ich nehme halt gleich den Kehrwert, dann muss alles, was auf der ersten Seite steht, unter den Bruchstrich, denn der Kehrwert von z.B. a²+b ist [mm] \bruch{1}{a²+b}
[/mm]
Und den Logarithmus im letzten Schritt berechnet man per TR auf die von dir berschriebene Weise, das ist also korrekt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Mo 22.10.2007 | | Autor: | mica |
oh ok!
Allerdings bekomm ich dann nicht das ergebnis raus was bei mir auf dem lösungsbogen steht, ich bekomme nur "ma error" auf den taschenrechner, ich weiß nicht was ich da falsch mache!!!
Bin mittlerweile am verzweifeln, hab mich an eine ähnliche aufgabe gemacht, aber die bekomm ich auch nicht nach n aufgelöst...puhhhh...nach 4 jahren kein mathe und eigentlich "nur" realschule merkt man die defiziete!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo mica,
wie lautet den die Lösung?
Versuche es doch einmal mit folgender Formel:
n = [mm] \bruch{In A - In T_1}{In q}
[/mm]
oder die dir bekannte Formel:
A = [mm] K_0*q^n *\bruch{i}{q^n -1}
[/mm]
[mm] A*q^n [/mm] - [mm] A-K_0*q^n*i [/mm] = 0
[mm] q^n [/mm] = [mm] \bruch{A}{A - K_0*i}
[/mm]
n = [mm] \bruch{In(\bruch{A}{A-K_0*i})}{In(q)}
[/mm]
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Mo 22.10.2007 | | Autor: | mica |
laut aufgabenzettel ist die antwort zu 1. 60,477 jahre und zu 2. unendlich
bei 1. hatte ich selber schon mal ein ergebnis, und das lag irgendwo bei 36, und wenn ich jetzt deine erste formel nutze (ist [mm] T_1 [/mm] jetzt in der formel [mm] K_0? [/mm] )dann bekomm ich auch irgendwas mit -36 raus.
Nun bin ich mir allerdings nicht sicher, ob das mein fehler ist beim einsetzen der werte, oder ob da sonst irgendwas nicht hin haut (evtl. das gegebene erg. nicht richtig?)
Was meinst du in der zweiten formel mit i? Das hat mich nun völlig aus der bahn geworfen, wofür steht das i?
Sorry wenn ich etwas begriffstutzig bin, aber mometan dreht sich mein kopf vor lauter formeln die ich jetzt schon seit 3 stunden ausprobiere.
danke für die antwort!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mo 22.10.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo mica,
Schuld = 200.000
Zinsen = 200.000*0,074 = 14.800
Annuität = 15.000
Tilgung = 15.000 - 14.800 = 200
in die von mir genannte 1. Formel einsetzen:
n = [mm] \bruch{In 15.000 - In 200}{In 1,074}
[/mm]
n = [mm] \bruch{9,615805 - 5,298317}{0,07138999}
[/mm]
n = 60,4774
i = 0,074 = 7,4 %
Viele Grüße
Josef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 Mo 22.10.2007 | | Autor: | mica |
hey super! Danke Josef, also mit den beiden formeln hab ich jetzt auch die lösung raus!
Aus welcher grundformel hast du denn die erste formel abgeleitet, doch nicht von der Annuitätentilgungsformel oder? Würde mich mal itneressieren!
Kann man denn diese umformung nach n jetzt für jegliche aufgabe bei der die annuität gegeben ist nutzen?
sorry für die vielen fragen,aber ich muss sachen immer nachvollziehen können, sonst steh ich auf dem schlauch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo mica
1.Ich hoff dass du gesehen hast, dass das i bei Josef einfach dein (q-1) ist.
Damit ist das Ergebnis von Rex, das er was umständlich und mit nem Fehler hergeleitet hat, und das von Josef dasselbe.
im Nenner
du hast dann [mm] q^n=\bruch{A}{A-K_0*i}.
[/mm]
[mm] A-K_0*i [/mm] ist aber gerade die erste Rückzahlungsrate, T1.
deshalb auch [mm] q^n=\bruch{A}{T1}
[/mm]
und [mm] $n*logq=log\bruch{A}{T1}$
[/mm]
mit log(a/b)=loga-logb
wird daraus n*logq=logA-logT1
also sind beide Formeln dasselbe. und du kannst sie immer verwenden.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:32 Mo 22.10.2007 | | Autor: | mica |
Hey danke leute! Super jetzt machts sinn!
Dann muss ich mich nur noch durch den rest meiner aufgaben kämpfen, ist ja auch erst halb 10! Der abend ist noch jung! 
Danke an euch alle,
schönen abend noch!
mica
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Guten Tag!!
Ich würde gerne wissen woher man plötlich 2 A bekommt, es steht ja nur ein A in der Gleichung.
Ich müsste auf: n= [ln (A / (A - Ko (q-1)] / lnq
weiß jedoch nicht wie das funktioniern soll, da in ich eben nur ein A habe, daher bitte ich um dringende hilfe
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:15 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo freijumper,
> Ich würde gerne wissen woher man plötlich 2 A bekommt, es
> steht ja nur ein A in der Gleichung.
>
> Ich müsste auf: n= [ln (A / (A - Ko (q-1)] / lnq
>
> weiß jedoch nicht wie das funktioniern soll, da in ich eben
> nur ein A habe, daher bitte ich um dringende hilfe
>
A = [mm] K_0*q^n*\bruch{i}{q^n -1} \gdw A*q^n [/mm] - A [mm] -K_0*q^n [/mm] *i = 0 [mm] \gdw q^n [/mm] = [mm] \bruch{A}{A-K_0 *i}
[/mm]
Viele Grüße
Josef
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aja bin bisschen auf der leitung gestanden.
danke lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:08 Di 13.11.2007 | | Autor: | Josef |
Hallo firejumper,
> aja bin bisschen auf der leitung gestanden.
>
Macht nichts. Dafür ist das Forum ja da.
Viele Grüße
Josef
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:53 Mo 22.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Rex
In den letzten 3 Zeilen ist ein Fehler, das - (Minus) steht nicht vor dem Bruch, sondern vor dem ersten Ausdruck im Nenner des Bruchs.
Bemerkung: solche Gleichungen sollte man IMMER zuerst mit dem Nenner, hier [mm] q^n-1 [/mm] durchmultiplizieren, dann geht das Umformen viel einfacher!
siehe josephs post
Gruss leduart
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