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| Aufgabe | | Aus einem rechteckigen Karton der Seitenlängen l = 40cm und d = 25 cm ist durch Ausschneiden von Quadraten der Seitenlänge h an den Ecken und anschließendes Aufbiegen der Seitenwände eine quaderförmige, oben offene Schachtel herzustellen. Wie groß muss h gewählt werden, damit das Volumen der Schachtel möglichst groß wird? |
Hallo!
An dieser Extremwertaufgabe bastle ich schon einige Stunden herum, schaffe es aber nicht eine mathematische Funktion zu formulieren, die den obigen Sachverhalt ausdrückt. Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?
Meine Überlegungen sind Fragmente:
x = Länge -Grundfläche -Schachtel
y = Breite -Grundfläche - Schachtel
h = Höhe der Schachteln und gleichzeitig Seitenlänge der auszuschneidenden Quadrate.
xy + 2xh + 2yh [mm] +4h^2 \le [/mm] 1000
Diese Bedingung müsste doch erfüllt sein, oder?
Habe versucht zu substituieren
x = (40-2h) y =(25 -2h)
und irgendwie nach h aufzulösen(was misslungen ist). Vielleicht sind meine Überlegungen auch komplett falsch, jedenfalls wollte ich das dann in eine Formel für das Volumen einsetzen
V(h) = (40-2h)(25 -2h)h
Vielen Dank im Voraus
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 Mo 12.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Diese Aufgabe taucht hier schonmal auf.
Aber nochmal im einzelnen.
Du hast eine flache Pappe, bei den an jeder Seite das Quadrat mit der Seitenlänge h herausgeschnitten und hochgeklappt wird.
Der so enstandene Karton hat als die Höhe h.
Das Volumen dieses Kartons berechnest du mit [mm] V=\overline{l}*\overline{d}*h.
[/mm]
Bleibt die Frage, was [mm] \overline{l} [/mm] und [mm] \overline{d} [/mm] sind.
du schneidest von der gegebenen Seite a des "Grundkartons" ja an beiden Seiten die strecke des Quadrates aus. Also: [mm] \overline{l}=l-2*h
[/mm]
Gleiches gil für [mm] \overline{d}=d-2h
[/mm]
Somit gilt für deine Gesuchte Kiste:
V(h)=(l-2h)(d-2h)*h
Mit deinen Grundkartonwerten l=40 und d=25:
V(h)=(40-2h)(25-2h)*h
Von dieser Volumenfunktion musst du jetzt die Extremwerte (Hier das Maximum) bestimmen.
Also: V'(h)=0 und V''(h)<0
Marius
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Danke m. Rex!
Also war meine Funktion gar nicht falsch!
Gruß
Angelika
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