Anfangswertprobleme < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mi 29.06.2011 | | Autor: | engels |
| Aufgabe | Lösen Sie die Anfangswertprobleme:
1) [mm] (x^{2} [/mm] + 1) y' + xy + [mm] \wurzel[]{x^{2}+1} [/mm] = 0; y(1) = 0
2) y' = [mm] \bruch{ln (y^{y})}{ln (x^{x})}; [/mm] y(2) = 8: |
Zu 1)
Hier würde ich den Ansatz einer inhomogenen DGL wählen. Nur dort komme ich an einen Punkt, an dem ich eine Stammfunktion zu [mm] \bruch{- \wurzel[]{x^{2}+1}}{x^{2}+1}*e^{0,5*(x^{2}+1)} [/mm] bestimmen muss. Da komme ich nicht weiter.
Zu 2)
Hier habe ich erstmal [mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{ln (y^{y})}{ln (x^{x})} [/mm] gesetzt. Nun suche ich allerdings eine Stammfunktion zu ln [mm] (y^{y}) [/mm] dy bzw. ln [mm] (x^{x}) [/mm] dx.
Kann mir einer einen Rat zum weitermachen geben?
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Hallo engels,
> Lösen Sie die Anfangswertprobleme:
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> 1) [mm](x^{2}[/mm] + 1) y' + xy + [mm]\wurzel[]{x^{2}+1}[/mm] = 0; y(1) = 0
>
> 2) y' = [mm]\bruch{ln (y^{y})}{ln (x^{x})};[/mm] y(2) = 8:
> Zu 1)
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> Hier würde ich den Ansatz einer inhomogenen DGL wählen.
> Nur dort komme ich an einen Punkt, an dem ich eine
> Stammfunktion zu [mm]\bruch{- \wurzel[]{x^{2}+1}}{x^{2}+1}*e^{0,5*(x^{2}+1)}[/mm]
> bestimmen muss.
Darauf komme ich nicht. Kannst du bitte etwas von deiner Rechnung präsenieren?!
> Da komme ich nicht weiter.
>
> Zu 2)
>
> Hier habe ich erstmal [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{ln (y^{y})}{ln (x^{x})}[/mm]
> gesetzt. Nun suche ich allerdings eine Stammfunktion zu ln
> [mm](y^{y})[/mm] dy bzw. ln [mm](x^{x})[/mm] dx.
Nach Trennung ergibt sich doch [mm] $\int{\frac{1}{\ln\left(y^y\right)} \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \int{\frac{1}{\ln\left(x^x\right)} \ dx}$
[/mm]
Nun beachte das Logarithmusgesetz [mm] $\log_b\left(a^m\right)=m\cdot{}\log_b(a)$
[/mm]
Das Integral [mm] $\int{\frac{1}{z\cdot{}\ln(z)} \ dz}$ [/mm] kannst du mit der Substitution [mm] $u=u(z):=\ln(z)$ [/mm] erschlagen ...
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> Kann mir einer einen Rat zum weitermachen geben?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mi 29.06.2011 | | Autor: | engels |
Also Aufgabe 2) kann ich nun lösen, hierfür erstmal danke.
Zu 1) Ich habe log mit ln vertauscht. Jetzt hier richtig.
Ich forme um, sodass ich
y' + [mm] \bruch{x}{x^{2}+1} [/mm] y = - [mm] \bruch{\wurzel[]{x^{2}+1}}{x^{2}+1} [/mm] erhalte.
Nun kommt die homogene Lösung:
yh = A * [mm] e^{-\integral_{}^{}{f(x) dx}} [/mm] = A * [mm] e^{-\integral_{}^{}{ \bruch{x}{x^{2}+1} dx}} [/mm] = A * [mm] e^{-0,5 ln(x^{2}+1)}
[/mm]
Nun die Variation der Konstanten:
yp = u(x) * [mm] e^{-0,5*ln(x^{2}+1)}
[/mm]
u'(x) = [mm] \bruch{g(x)}{e^{-0,5 ln(x^{2}+1)}} [/mm] = [mm] \bruch{- \bruch{\wurzel[]{x^{2}+1}}{x^{2}+1}}{e^{-0,5 ln(x^{2}+1)}}
[/mm]
Ist mein Vorgehen soweit richtig?
Oke, nun ist mir auch aufgefallen, dass ich vieles vereinfachen kann. Daher nun mal mein aktuelles Endergebnis:
y(x) = [mm] \bruch{1}{\wurzel[]{x^{2}+1}}*(1-x)[/mm]
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Hallo engels,
> Also Aufgabe 2) kann ich nun lösen, hierfür erstmal
> danke.
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> Zu 1) Ich habe log mit ln vertauscht. Jetzt hier richtig.
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> Ich forme um, sodass ich
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> y' + [mm]\bruch{x}{x^{2}+1}[/mm] y = -
> [mm]\bruch{\wurzel[]{x^{2}+1}}{x^{2}+1}[/mm] erhalte.
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> Nun kommt die homogene Lösung:
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> yh = A * [mm]e^{-\integral_{}^{}{f(x) dx}}[/mm] = A *
> [mm]e^{-\integral_{}^{}{ \bruch{x}{x^{2}+1} dx}}[/mm] = A * [mm]e^{-0,5 ln(x^{2}+1)}[/mm]
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> Nun die Variation der Konstanten:
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> yp = u(x) * [mm]e^{-0,5*ln(x^{2}+1)}[/mm]
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> u'(x) = [mm]\bruch{g(x)}{e^{-0,5 ln(x^{2}+1)}}[/mm] = [mm]\bruch{- \bruch{\wurzel[]{x^{2}+1}}{x^{2}+1}}{e^{-0,5 ln(x^{2}+1)}}[/mm]
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> Ist mein Vorgehen soweit richtig?
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> Oke, nun ist mir auch aufgefallen, dass ich vieles
> vereinfachen kann. Daher nun mal mein aktuelles
> Endergebnis:
> y(x) = [mm]\bruch{1}{\wurzel[]{x^{2}+1}}*(1-x)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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