Anfangswertproblem DGL 2.ord. < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
in einem mechanischen Zusammenhang habe ich eine Differentialgleichung zu lösen. Kurz zum mechanischen mit allen wichtigen Daten:
Es ist ein Rohr gegeben, dass die Länge 2*L besitzt und in der Vertikalen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotiert, es dreht sich also quasi wie ein Uhrzeiger. Jetzt wird zum Zeitpunkt t=0 ein Körper mit vernachlässigbarer Geschwindigkeit in das Rohr geworfen (während das Rohr genau vertikal steht (also senkrecht zur x-Achse)). Zu bestimmen ist nun die Bewegungsgleichung unter benutzung von Polarkoordinaten (in diesem Fall der radialen Komponente), also
[mm] m\left(\bruch{d^2r}{dt^2}-\left(\bruch{d\theta}{dt}\right)^2*r\right)=-m*g*cos(\omega*t)
[/mm]
daraus folgt dann:
[mm] \bruch{d^2r}{dt^2}-\omega^2*r=-g*cos(\omega*t)
[/mm]
mit den Bedingungen r=L und r'=0 wenn t=0
Die gegebene Lösung mit diesen Anfangswerten ist:
[mm] r(t)=\left(L-\bruch{g}{2\omega^2}\right)*cosh(\omega*t)+\bruch{g}{2\omega^2}*cos(w*t)
[/mm]
Meine Lösung in der allgemeinen Form sieht so aus:
[mm] r(t)=A*e^{-\omega*t}+B*e^{\omega*t}
[/mm]
Löse ich für A und B bekomme ich [mm] A=B=\bruch{L}{2}
[/mm]
Düe sie partikuläre Lösung bekomme ich über den Ansatz [mm] r(t)=A*sin(\omega*t)+B*cos(\omega*t) [/mm] heraus, dass A=0 und [mm] B=\bruch{g}{2\omega^2} [/mm] ist. das sieht ja fast aus wie die gegebene Lösung, aber es fehlt eben ein Term.
Mache ich was falsch ?
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Das hier
$ [mm] r(t)=A\cdot{}e^{-\omega\cdot{}t}+B\cdot{}e^{\omega\cdot{}t} [/mm] $
ist die Lösung der homogenen Gleichung. Ich nenne sie mal [mm] r_h [/mm] statt r, also
$ [mm] r_h(t)=A\cdot{}e^{-\omega\cdot{}t}+B\cdot{}e^{\omega\cdot{}t} [/mm] $
Wenn ich Dich richtig verstanden habe, hast Du nun A und B so bestimmt, dass
[mm] r_h(0) [/mm] = L und [mm] r_h'(0)= [/mm] 0 ist.
So darfst Du natürlich nicht vorgehen !
Bestimme eine partikuliäre Lösung [mm] r_p [/mm] der inhomogenen Gleichung. Dann hat die inhomogene Gl. die allgemeine Lösung
$r(t)= [mm] r_h(t)+r_p(t)= A\cdot{}e^{-\omega\cdot{}t}+B\cdot{}e^{\omega\cdot{}t}+r_p(t)$
[/mm]
Erst jetzt werden die Bed. r(0) = L und r'(0)= 0 herangezogen um A und B zu bestimmen
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:18 Mi 17.03.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Oh mein Gott,
du hast natürlich recht. So ein Mist. Das hat mich 1,5 stunden gekostet.
Lg
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