Anfangswertproblem DGL-System < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Sa 16.05.2015 | | Autor: | emperor |
| Aufgabe | Bestimmen Sie für [mm] a,b,d,x_0,y_0 \in \IR [/mm] die Lösung des folgenden Anfangswertproblems.
[mm] \vektor{\dot{x}(t) \\ \dot{y}(t)}=\vektor{ax(t)+by(t) \\ dy(t)}, \vektor{x(0) \\ y(0)}=\vektor{x_0 \\ y_0} [/mm] |
Hallo,
ich möchte das oben angegebene Anfwangswertproblem lösen. Bis jetzt habe ich immer nur DGL der form [mm] \dot{x}(t)e^{x(t)}cos(t) [/mm] usw. gelöst aber noch nie etwas in Vektor-/Matrix form. Wie löst man generell ein solches AWP wenn Matrizen vorkommen? Ich hab schon versucht mir das selber aus dem Buch "Mathematik" von T.Arens beizubringen aber irgendwie komme ich da überhaupt nicht zurecht. Vielleicht kann mir jemand von euch zeigen wie sowas funktioniert. Danke schonmal im voraus.
Liebe Grüße
Emperor
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Sa 16.05.2015 | | Autor: | fred97 |
Das AWP y'(t)=dy(t). [mm] y(0)=y_0 [/mm] hat die eindeutig bestimmte Lösung
[mm] y(t)=y_0e^{dt}.
[/mm]
Ist Dir das klar ?
Jetzt löse noch dAS awp
[mm] x'(t)=ax(t)+by_0e^{dt}, x(0))x_0.
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Sa 16.05.2015 | | Autor: | emperor |
Vielen Dank für die Antwort!
Ja ich glaube das ist mir klar.
Wenn ich jetzt den Ansatz [mm] Ce^{dt} [/mm] einsetze dann bekomme ich ja:
[mm] Cde^{dt}=Cde^{dt} [/mm]
Das [mm] C=y_0 [/mm] sein muss folgt aus [mm] y(0)=y_0=Ce^0=C
[/mm]
[mm] \implies y(t)=y_0 e^{dt}
[/mm]
_____________________________
[mm] x'(t)=ax(t)+by_0e^{dt}
[/mm]
Hier kann ich glaube ich erst den homogenen Fall lösen und dann mit Variation der konstanten arbeiten.
$x'(t)-ax(t)=0$; Ansatz: [mm] x(t)=Ce^{at}
[/mm]
[mm] Cae^{at}-Cae^{at}=0; \checkmark
[/mm]
Variation der Konstanten:
Ansatz: [mm] x(t)=c(t)e^{at}
[/mm]
Einsetzen:
[mm] c'(t)e^{at}+c(t)ae^{at}-c(t)ae^{at}=by_0e^{dt} \iff c'(t)=by_0e^{t(d-a)}
[/mm]
[mm] c(t)=\integral by_0e^{t(d-a)}=by_0 \int e^{t(d-a)}=\bruch{by_0}{d-a}e^{t(d-a)}
[/mm]
[mm] \implies c(t)=\bruch{by_0}{d-a}e^{t(d-a)}+K
[/mm]
Ist das jetzt dann meine Lösung? Also:
[mm] x(t)=(\bruch{by_0}{d-a}e^{t(d-a)}+K)e^{at}
[/mm]
Gruß
Emperor
|
|
|
| |
|
Hallo Emperor,
> Vielen Dank für die Antwort!
>
> Ja ich glaube das ist mir klar.
>
> Wenn ich jetzt den Ansatz [mm]Ce^{dt}[/mm] einsetze dann bekomme ich
> ja:
>
> [mm]Cde^{dt}=Cde^{dt}[/mm]
>
> Das [mm]C=y_0[/mm] sein muss folgt aus [mm]y(0)=y_0=Ce^0=C[/mm]
>
> [mm]\implies y(t)=y_0 e^{dt}[/mm]
>
> _____________________________
>
> [mm]x'(t)=ax(t)+by_0e^{dt}[/mm]
>
> Hier kann ich glaube ich erst den homogenen Fall lösen und
> dann mit Variation der konstanten arbeiten.
>
> [mm]x'(t)-ax(t)=0[/mm]; Ansatz: [mm]x(t)=Ce^{at}[/mm]
>
> [mm]Cae^{at}-Cae^{at}=0; \checkmark[/mm]
>
> Variation der Konstanten:
>
> Ansatz: [mm]x(t)=c(t)e^{at}[/mm]
>
> Einsetzen:
>
> [mm]c'(t)e^{at}+c(t)ae^{at}-c(t)ae^{at}=by_0e^{dt} \iff c'(t)=by_0e^{t(d-a)}[/mm]
>
> [mm]c(t)=\integral by_0e^{t(d-a)}=by_0 \int e^{t(d-a)}=\bruch{by_0}{d-a}e^{t(d-a)}[/mm]
>
> [mm]\implies c(t)=\bruch{by_0}{d-a}e^{t(d-a)}+K[/mm]
>
> Ist das jetzt dann meine Lösung? Also:
>
> [mm]x(t)=(\bruch{by_0}{d-a}e^{t(d-a)}+K)e^{at}[/mm]
>
Das ist die Lösung für [mm]d \not= a[/mm]. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß
>
> Emperor
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Sa 16.05.2015 | | Autor: | emperor |
Vielen, vielen Dank für die Antwort.
Das ist aber nur die Lösung für x(t) oder?
Also die "komplette" Lösung wäre:
[mm] x(t)=(\bruch{by_0}{d-a}e^{t(d-a)}+K)e^{at}
[/mm]
[mm] y(t)=y_0e^{at}
[/mm]
Kann ich in x(t) noch irgendwie die Anfangsbedingung [mm] x(0)=x_0 [/mm] einbauen um den Term zu vereinfachen?
Muss ich bei x(t) auf den fall d=a behandeln? Warum gilt die Lösung nur für d [mm] \not= [/mm] a
Liebe Grüße
Emperor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:32 So 17.05.2015 | | Autor: | emperor |
Oh mann bin ich doof. Bitte das mit dem d=a ignorieren. Bei d=a wird der Nenner ja 0 und ist daher nicht definiert.
|
|
|
| |
|
Hallo emperor,
> Vielen, vielen Dank für die Antwort.
>
> Das ist aber nur die Lösung für x(t) oder?
>
> Also die "komplette" Lösung wäre:
>
> [mm]x(t)=(\bruch{by_0}{d-a}e^{t(d-a)}+K)e^{at}[/mm]
> [mm]y(t)=y_0e^{at}[/mm]
>
> Kann ich in x(t) noch irgendwie die Anfangsbedingung
> [mm]x(0)=x_0[/mm] einbauen um den Term zu vereinfachen?
>
Setze t=0 ind die Lösung für x(t) ein
und ermittle daraus die Konstante K:
> Muss ich bei x(t) auf den fall d=a behandeln? Warum gilt
> die Lösung nur für d [mm]\not=[/mm] a
>
Natürlich ist der Fall d=a noch zu behandeln.
> Liebe Grüße
>
> Emperor
Gruss
MathePower
|
|
|
|
