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| Aufgabe | Sei [mm] y:I\to\mathbb{R} [/mm] deine Lösung des Anfangswertproblems y'=t sin(ty), y(0)=1 auf einem offenen Intervall I mit [mm] 0\in [/mm] I.
Warum hat I keine Nullstelle auf I? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bin mir nicht sicher, wie man hier ansetzen muss. Meine bisherigen Ideen:
Angenommen y besitzt eine Nullstelle [mm] t_0 [/mm] auf I. Dann ist y eine Lösung des Anfangswertproblems y'=t sin(ty), [mm] y(t_0)=0.
[/mm]
Eventuell kann man mit diesem Ansatz etwas bewerkstelligen, aber noch weiß ich nicht was ;) Habt ihr Rat?
Gruß
Differential
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Sa 26.10.2013 | | Autor: | hippias |
Vielleicht kannst Du ja folgendes zeigen:
1) die Loesung des AWP auf dem Intervall [mm] $[0,t_{0}]$ [/mm] ist eindeutig
2) die Nullfunktion ist Loesung der DGL mit [mm] $y(t_{0})=0$.
[/mm]
Damit koenntest Du einen Widerspruch zu $y(0)= 1$ herleiten.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Sa 26.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]y:I\to\mathbb{R}[/mm] deine Lösung des Anfangswertproblems
> y'=t sin(ty), y(0)=1 auf einem offenen Intervall I mit [mm]0\in[/mm]
> I.
>
> Warum hat I keine Nullstelle auf I?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich bin mir nicht sicher, wie man hier ansetzen muss. Meine
> bisherigen Ideen:
>
> Angenommen y besitzt eine Nullstelle [mm]t_0[/mm] auf I. Dann ist y
> eine Lösung des Anfangswertproblems y'=t sin(ty),
> [mm]y(t_0)=0.[/mm]
>
> Eventuell kann man mit diesem Ansatz etwas bewerkstelligen,
> aber noch weiß ich nicht was ;) Habt ihr Rat?
>
> Gruß
> Differential
Ergänzend zu Hippias:
Sei f(t,y):=tsin(ty). Zeige: für alle t,y,z [mm] \in \IR [/mm] gilt:
|f(t,y)-ft,z)| [mm] \le |y-z|*t^2.
[/mm]
Folgere hieraus, dass f einer lokalen Lipschitzbedingung bezüglich y genügt.
Was sagen die Herren Picard und Lindelöf zu Lösungen des AWPs
y'=f(t,y), [mm] y(t_0)=0
[/mm]
?
FRED
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Hallo fred97,
vielen Dank für deine Antwort. Ich finde den Ansatz gut, habe aber noch ein paar Probleme damit. Zunächst zur Abschätzung: Für [mm] t,y,z\in\mathbb{R} [/mm] gilt:
[mm] |f(t,y)-f(t,z)|=|t||sin(ty)-sin(tz)|=|t||sin(ty)+sin(-tz)|\le |t|(|sin(ty)|+|sin(-tz)|)\le\cdots
[/mm]
Das zweite "=" gilt wegen sin(-x)=-sin(x). An dieser Stelle hakt es mit den Abschätzkünsten ...
Zudem: Sobald ich es gezeigt habe, warum folgt daraus dann die Lipschitz-Stetigkeit? Dafür muss ja [mm] |f(t,y)-f(s,z)|\le L\|y-z\|_2 [/mm] gelten.
EDIT: Letzteres hat sich erledigt. Wir betrachten später ja eine kompakte Teilmenge, auf der [mm] t^2 [/mm] dann ja ein Maximum hat und somit ist das Ding Lipschitz.
Gruß
Differential
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:53 Sa 26.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo fred97,
>
> vielen Dank für deine Antwort. Ich finde den Ansatz gut,
> habe aber noch ein paar Probleme damit. Zunächst zur
> Abschätzung: Für [mm]t,y,z\in\mathbb{R}[/mm] gilt:
>
> [mm]|f(t,y)-f(t,z)|=|t||sin(ty)-sin(tz)|=|t||sin(ty)+sin(-tz)|\le |t|(|sin(ty)|+|sin(-tz)|)\le\cdots[/mm]
Lass auf sin(ty)-sin(tz) den Mittelwertsatz los
FRED
>
> Das zweite "=" gilt wegen sin(-x)=-sin(x). An dieser Stelle
> hakt es mit den Abschätzkünsten ...
>
> Zudem: Sobald ich es gezeigt habe, warum folgt daraus dann
> die Lipschitz-Stetigkeit? Dafür muss ja [mm]|f(t,y)-f(s,z)|\le L\|y-z\|_2[/mm]
> gelten.
> EDIT: Letzteres hat sich erledigt. Wir betrachten später
> ja eine kompakte Teilmenge, auf der [mm]t^2[/mm] dann ja ein Maximum
> hat und somit ist das Ding Lipschitz.
>
> Gruß
> Differential
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Ja, du hast recht. So lässt sich zeigen, dass [mm] |f(t,y)-f(t,z)|\le t^2|y-z| [/mm] gilt. Ferner ist f somit auf dem Kompaktum [mm] [0,t_0], [/mm] falls [mm] t_0\ge [/mm] 0, bzw. [mm] [t_0,0], [/mm] falls [mm] t_0<0, [/mm] Lipschitz-stetig.
Offensichtlich löst die Nullfunktion dann das Anfangswertproblem y'=t sin(ty), [mm] y(t_0)=0. [/mm] Aufgrund von obigem existiert nach dem Satz von Picard-Lindelöf keine weitere Lösung.
Aber [mm] 0(1)=0\ne [/mm] 1, im Widerspruch zur Voraussetzung. Passt das so? ;)
Gruß
Differential
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:13 So 27.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ja, du hast recht. So lässt sich zeigen, dass
> [mm]|f(t,y)-f(t,z)|\le t^2|y-z|[/mm] gilt. Ferner ist f somit auf
> dem Kompaktum [mm][0,t_0],[/mm] falls [mm]t_0\ge[/mm] 0, bzw. [mm][t_0,0],[/mm] falls
> [mm]t_0<0,[/mm] Lipschitz-stetig.
Unsinn !
Ist K ein Kompaktum im [mm] \IR^2, [/mm] so ist f auf K L-stetig bezügl. der 2. Variablen.
>
> Offensichtlich löst die Nullfunktion dann das
> Anfangswertproblem y'=t sin(ty), [mm]y(t_0)=0.[/mm] Aufgrund von
> obigem existiert nach dem Satz von Picard-Lindelöf keine
> weitere Lösung.
Ja
FRED
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> Aber [mm]0(1)=0\ne[/mm] 1, im Widerspruch zur Voraussetzung. Passt
> das so? ;)
>
> Gruß
> Differential
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> Ist K ein Kompaktum im [mm]\IR^2,[/mm] so ist f auf K L-stetig
> bezügl. der 2. Variablen.
Und warum? Wie ist die Begründung? Ich weiß, dass stetige Abbildungen auf kompakten Mengen sogar gleichmäßig stetig sind; aber wie folgt aus meiner Abschätzung die (lokale) Lipschitz-Stetigkeit?
Gruß
Differential
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 So 27.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Ist K ein Kompaktum im [mm]\IR^2,[/mm] so ist f auf K L-stetig
> > bezügl. der 2. Variablen.
>
> Und warum? Wie ist die Begründung? Ich weiß, dass stetige
> Abbildungen auf kompakten Mengen sogar gleichmäßig stetig
> sind; aber wie folgt aus meiner Abschätzung die (lokale)
> Lipschitz-Stetigkeit?
Wir haben
$ [mm] |f(t,y)-f(t,z)|\le t^2|y-z| [/mm] $ für alle (t,y) [mm] \in \IR^2
[/mm]
Sei nun K eine kompakte Teilmenge des [mm] \IR^2, [/mm] dann ist K beschränkt, etwa
[mm] ||(t,y)||_2 \le [/mm] c für alle (t,y) [mm] \in [/mm] K [mm] (||*||_2 [/mm] = eukl. Norm)
Für (t,y) [mm] \in [/mm] K ist
[mm] t^2 \le t^2+y^2 =||(t,y)||_2^2 \le c^2
[/mm]
Damit ist
$ [mm] |f(t,y)-f(t,z)|\le c^2|y-z| [/mm] $ für alle (t,y) [mm] \in [/mm] K.
FRED
>
> Gruß
> Differential
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Damit ist aber noch nicht die lokale Lipschitzbedingung erfüllt. Dafür müsste [mm] \|f(t,y)-f(s,z)\|\le L\|y-z\| [/mm] für alle [mm] (t,y),(s,z)\in [/mm] K gelten.
Wo irre ich mich da?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Damit ist aber noch nicht die lokale Lipschitzbedingung
> erfüllt. Dafür müsste [mm]\|f(t,y)-f(s,z)\|\le L\|y-z\|[/mm]
> für alle [mm](t,y),(s,z)\in[/mm] K gelten.
>
> Wo irre ich mich da?
Ich hab mich oben verschrieben. Gemeint hab ich
$ [mm] |f(t,y)-f(t,z)|\le c^2|y-z| [/mm] $ für alle (t,y), (t,z) $ [mm] \in [/mm] $ K.
Für Picard-Lindelöf brauchst "nur" die Lokale L-Bed. bezügl. der 2, Var. y.
FRED
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Warum brauche ich für Picard-Lindelöf nur in der zweiten Variablen die Abschätzung?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Warum brauche ich für Picard-Lindelöf nur in der zweiten
> Variablen die Abschätzung?
Du machst jetzt folgendes: gibt wortgetreu (!) Deine Version(en) des Satzes von Picard-Lindelöf hier wieder.
Dann sehen wir weiter
FRED
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Sei [mm] D\subset\mathbb{R}^{1+n}, f:\mathbb{D}\to\mathbb{R}^n [/mm] stetig und f erfülle die lokale Lipschitzbedingung. Dann besitzt das Anfangswertproblem y'=f(t,y), [mm] y(t_0)=y_0, [/mm] in einem Intervall [mm] (t_0-\delta,t_0+\delta) [/mm] genau eine Lösung.
Ich vermute, dass hier einfach zu viel gefordert wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 Di 05.11.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]D\subset\mathbb{R}^{1+n}, f:\mathbb{D}\to\mathbb{R}^n[/mm]
> stetig und f erfülle die lokale Lipschitzbedingung.
Und wie lautet die ?????
FRED
> Dann
> besitzt das Anfangswertproblem y'=f(t,y), [mm]y(t_0)=y_0,[/mm] in
> einem Intervall [mm](t_0-\delta,t_0+\delta)[/mm] genau eine
> Lösung.
>
> Ich vermute, dass hier einfach zu viel gefordert wird.
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