Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 So 08.01.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Lösen Sie: u''+5u'+6u=cos(t), u(0)=u'(0)=1,1
[mm] Up(t)=\alpha*cos(t+\sigma) [/mm] ... Ansatz für Partikulärlösung |
hallo :)
habe mich nun mit diffgl. 2. ordnung beschäftigt und bin auf ein problem gestoßen. normalerweise würde ich für dieses bsp einen anderen ansatz für die partikulärlösung Up(t) wählen, jedoch soll ich den gegebenen verwenden.
homogene lösung haben ich schon berechnet.
meine idee für die lösung der partikulärlösung wäre:
u''+5u'+6u=cos(t) -->
[mm] -\alpha*cos(t+\sigma)-5\alpha*sin(t+\sigma)+6\alpha*cos(t+\sigma)=cos(t)
[/mm]
für t= [mm] \frac{pi/2} [/mm] folgt: [mm] -\alpha*cos((pi/2)+\sigma)-5\alpha*sin((pi/2)+\sigma)+6\alpha*cos((pi/2+)\sigma)=0
[/mm]
[mm] -5*sin((pi/2)+\sigma)+5*cos((pi/2+)\sigma)=0
[/mm]
für t=0 folgt
[mm] -5*sin(\sigma)+5*cos(\sigma)=1
[/mm]
nun würde ich mir gerne [mm] \sigma [/mm] berechnen (um anschließend [mm] \alpha [/mm] zu berechnen und die diffgl. lösen) jedoch komme ich hier auf keinen grünen zweig. wissen tu ich das [mm] \sigma=4*pi/7 [/mm] sein sollte - wie ich das herrausfinde allerdings nicht :( vielleicht könnt ihr mir helfen.
liebe grüße meely
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Hallo meely,
> Lösen Sie: u''+5u'+6u=cos(t), u(0)=u'(0)=1,1
>
> [mm]Up(t)=\alpha*cos(t+\sigma)[/mm] ... Ansatz für
> Partikulärlösung
> hallo :)
>
> habe mich nun mit diffgl. 2. ordnung beschäftigt und bin
> auf ein problem gestoßen. normalerweise würde ich für
> dieses bsp einen anderen ansatz für die partikulärlösung
> Up(t) wählen, jedoch soll ich den gegebenen verwenden.
>
> homogene lösung haben ich schon berechnet.
>
> meine idee für die lösung der partikulärlösung wäre:
>
> u''+5u'+6u=cos(t) -->
>
> [mm]-\alpha*cos(t+\sigma)-5\alpha*sin(t+\sigma)+6\alpha*cos(t+\sigma)=cos(t)[/mm]
>
> für t= [mm]\frac{pi/2}[/mm] folgt:
> [mm]-\alpha*cos((pi/2)+\sigma)-5\alpha*sin((pi/2)+\sigma)+6\alpha*cos((pi/2+)\sigma)=0[/mm]
>
> [mm]-5*sin((pi/2)+\sigma)+5*cos((pi/2+)\sigma)=0[/mm]
>
> für t=0 folgt
>
> [mm]-5*sin(\sigma)+5*cos(\sigma)=1[/mm]
>
> nun würde ich mir gerne [mm]\sigma[/mm] berechnen (um anschließend
> [mm]\alpha[/mm] zu berechnen und die diffgl. lösen) jedoch komme
> ich hier auf keinen grünen zweig. wissen tu ich das
> [mm]\sigma=4*pi/7[/mm] sein sollte - wie ich das herrausfinde
> allerdings nicht :( vielleicht könnt ihr mir helfen.
>
> liebe grüße meely
Deine partikuläre Lösung lautet:
[mm] $u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{10}*sin(t) [/mm] + [mm] \frac{1}{10}*cos(t) [/mm] $
Das kannst Du umschreiben in:
[mm] $u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)$ [/mm] oder [mm] $u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}*sin \left(t+\frac{\pi}{4} \right)$
[/mm]
So ich mich nicht verrechnet habe.
LG, Martinius
Edit: Ich hatte mich doch verrechnet. Entschuldigung. Habe oben korrigiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:53 Mo 09.01.2012 | | Autor: | meely |
> Deine partikuläre Lösung lautet:
>
> [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t) + \frac{1}{10}*cos(t)[/mm]
>
ich weiß doch nicht mal wie ich auf [mm] \sigma [/mm] komme .. :( wie soll ich denn das dann nachvollziehen? bzw hast du glaub ich [mm] \sigma [/mm] sogar vergessen, da ja die eigentliche partikulärlösung [mm] Up(t)=\frac{\sqrt{2}}{10}*cos(t+\frac{7\pi}{4}) [/mm] lautet..
>
> Das kannst Du umschreiben in:
>
> [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
> oder [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*sin \left(t+\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
>
>
> So ich mich nicht verrechnet habe.
>
> LG, Martinius
Trotzdem danke,
Liebe Grüße Meely
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Hallo meely,
ich hatte mich oben verrechnet. Sorry.
> > Deine partikuläre Lösung lautet:
> >
> > [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t) + \frac{1}{10}*cos(t)[/mm]
> >
>
> ich weiß doch nicht mal wie ich auf [mm]\sigma[/mm] komme .. :( wie
> soll ich denn das dann nachvollziehen? bzw hast du glaub
> ich [mm]\sigma[/mm] sogar vergessen, da ja die eigentliche
> partikulärlösung
> [mm]Up(t)=\frac{\sqrt{2}}{10}*cos(t+\frac{7\pi}{4})[/mm] lautet..
>
>
> >
> > Das kannst Du umschreiben in:
> >
> > [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
> > oder [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*sin \left(t+\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
>
> >
> >
> > So ich mich nicht verrechnet habe.
> >
> > LG, Martinius
>
> Trotzdem danke,
>
> Liebe Grüße Meely
>
Als Lösungsansatz kann man nehmen:
[mm] $u_p(t) \; [/mm] = [mm] \, [/mm] A*cos(t) + B*sin(t)$
[mm] $u_p'(t) \; [/mm] = [mm] \, [/mm] -A*sin(t) + B*cos(t)$
[mm] $u_p''(t) \; [/mm] = [mm] \, [/mm] -A*cos(t) - B*sin(t)$
Einsetzen in: $u''+5u'+6u=cos(t)$
$-A*cos(t) - B*sin(t) -5A*sin(t)+5*B*cos(t)+6*A*cos(t)+6*B*sin(t) = cos(t)$
$(6A+5B-A)*cos(t)+(6B-5A-B)*sin(t)=cos(t)$
$5(A+B)*cos(t)+5(B-A)*sin(t)=cos(t)$
B = A
$10*A*cos(t)=cos(t)$
[mm] $A=B=\frac{1}{10}$
[/mm]
[mm] $u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{10}*sin(t)+\frac{1}{10}*cos(t)$
[/mm]
Die Periode ist [mm] 2*\pi.
[/mm]
Wo liegt das Maximum?
[mm] $u_p' \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{10}*cos(t)-\frac{1}{10}*sin(t) \; [/mm] = [mm] \; [/mm] 0$
[mm] $cos(t)=sin(t)=\wurzel{1-cos^2(t)}$
[/mm]
[mm] $cos^2(t)=1-cos^2(t)$
[/mm]
[mm] $cos(t)=\wurzel{\frac{1}{2}}$
[/mm]
[mm] $t=\frac{\pi}{4}$
[/mm]
Wie groß ist die Amplitude?
[mm] $u_p \left(t=\frac{\pi}{4} \right) \; [/mm] = [mm] \;\frac{1}{10}*cos\left( \frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{10}*sin\left(\frac{\pi}{4} \right) \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}$ [/mm]
Damit: [mm] $u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)$
[/mm]
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:21 Mo 09.01.2012 | | Autor: | meely |
Hallo :)
> Hallo meely,
>
> ich hatte mich oben verrechnet. Sorry.
>
>
> > > Deine partikuläre Lösung lautet:
> > >
> > > [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t) + \frac{1}{10}*cos(t)[/mm]
>
> > >
> >
> > ich weiß doch nicht mal wie ich auf [mm]\sigma[/mm] komme .. :( wie
> > soll ich denn das dann nachvollziehen? bzw hast du glaub
> > ich [mm]\sigma[/mm] sogar vergessen, da ja die eigentliche
> > partikulärlösung
> > [mm]Up(t)=\frac{\sqrt{2}}{10}*cos(t+\frac{7\pi}{4})[/mm] lautet..
> >
> >
> > >
> > > Das kannst Du umschreiben in:
> > >
> > > [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
> > > oder [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*sin \left(t+\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > So ich mich nicht verrechnet habe.
> > >
> > > LG, Martinius
> >
> > Trotzdem danke,
> >
> > Liebe Grüße Meely
> >
>
>
> Als Lösungsansatz kann man nehmen:
>
> [mm]u_p(t) \; = \, A*cos(t) + B*sin(t)[/mm]
>
> [mm]u_p'(t) \; = \, -A*sin(t) + B*cos(t)[/mm]
>
> [mm]u_p''(t) \; = \, -A*cos(t) - B*sin(t)[/mm]
>
>
> Einsetzen in: [mm]u''+5u'+6u=cos(t)[/mm]
>
> [mm]-A*cos(t) - B*sin(t) -5A*sin(t)+5*B*cos(t)+6*A*cos(t)+6*B*sin(t) = cos(t)[/mm]
>
> [mm](6A+5B-A)*cos(t)+(6B-5A-B)*sin(t)=cos(t)[/mm]
>
> [mm]5(A+B)*cos(t)+5(B-A)*sin(t)=cos(t)[/mm]
>
> B = A
>
> [mm]10*A*cos(t)=cos(t)[/mm]
>
> [mm]A=B=\frac{1}{10}[/mm]
>
>
> [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t)+\frac{1}{10}*cos(t)[/mm]
>
> Die Periode ist [mm]2*\pi.[/mm]
>
>
> Wo liegt das Maximum?
>
> [mm]u_p' \; = \; \frac{1}{10}*cos(t)-\frac{1}{10}*sin(t) \; = \; 0[/mm]
>
> [mm]cos(t)=sin(t)=\wurzel{1-cos^2(t)}[/mm]
>
> [mm]cos^2(t)=1-cos^2(t)[/mm]
>
> [mm]cos(t)=\wurzel{\frac{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]t=\frac{\pi}{4}[/mm]
>
>
> Wie groß ist die Amplitude?
>
> [mm]u_p \left(t=\frac{\pi}{4} \right) \; = \;\frac{1}{10}*cos\left( \frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{10}*sin\left(\frac{\pi}{4} \right) \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}[/mm]
>
>
> Damit: [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)[/mm]
>
>
> LG, Martinius
diesen ansatz würde ich ja auch verwenden, da er das bsp einfacher macht, leider darf ich aber nur $ [mm] Up(t)=\alpha\cdot{}cos(t+\sigma) [/mm] $ als ansatz verwenden um das bsp zu lösen. deshalb muss ich ja [mm] \sigma [/mm] lösen.
Liebe Grüße und danke, Meely
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Hallo meely,
> Hallo :)
>
> > Hallo meely,
> >
> > ich hatte mich oben verrechnet. Sorry.
> >
> >
> > > > Deine partikuläre Lösung lautet:
> > > >
> > > > [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t) + \frac{1}{10}*cos(t)[/mm]
>
> >
> > > >
> > >
> > > ich weiß doch nicht mal wie ich auf [mm]\sigma[/mm] komme .. :( wie
> > > soll ich denn das dann nachvollziehen? bzw hast du glaub
> > > ich [mm]\sigma[/mm] sogar vergessen, da ja die eigentliche
> > > partikulärlösung
> > > [mm]Up(t)=\frac{\sqrt{2}}{10}*cos(t+\frac{7\pi}{4})[/mm] lautet..
> > >
> > >
> > > >
> > > > Das kannst Du umschreiben in:
> > > >
> > > > [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
> > > > oder [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*sin \left(t+\frac{\pi}{2} \right)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > So ich mich nicht verrechnet habe.
> > > >
> > > > LG, Martinius
> > >
> > > Trotzdem danke,
> > >
> > > Liebe Grüße Meely
> > >
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> >
> > Als Lösungsansatz kann man nehmen:
> >
> > [mm]u_p(t) \; = \, A*cos(t) + B*sin(t)[/mm]
> >
> > [mm]u_p'(t) \; = \, -A*sin(t) + B*cos(t)[/mm]
> >
> > [mm]u_p''(t) \; = \, -A*cos(t) - B*sin(t)[/mm]
> >
> >
> > Einsetzen in: [mm]u''+5u'+6u=cos(t)[/mm]
> >
> > [mm]-A*cos(t) - B*sin(t) -5A*sin(t)+5*B*cos(t)+6*A*cos(t)+6*B*sin(t) = cos(t)[/mm]
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> >
> > [mm](6A+5B-A)*cos(t)+(6B-5A-B)*sin(t)=cos(t)[/mm]
> >
> > [mm]5(A+B)*cos(t)+5(B-A)*sin(t)=cos(t)[/mm]
> >
> > B = A
> >
> > [mm]10*A*cos(t)=cos(t)[/mm]
> >
> > [mm]A=B=\frac{1}{10}[/mm]
> >
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> > [mm]u_p \; = \; \frac{1}{10}*sin(t)+\frac{1}{10}*cos(t)[/mm]
> >
> > Die Periode ist [mm]2*\pi.[/mm]
> >
> >
> > Wo liegt das Maximum?
> >
> > [mm]u_p' \; = \; \frac{1}{10}*cos(t)-\frac{1}{10}*sin(t) \; = \; 0[/mm]
>
> >
> > [mm]cos(t)=sin(t)=\wurzel{1-cos^2(t)}[/mm]
> >
> > [mm]cos^2(t)=1-cos^2(t)[/mm]
> >
> > [mm]cos(t)=\wurzel{\frac{1}{2}}[/mm]
> >
> > [mm]t=\frac{\pi}{4}[/mm]
> >
> >
> > Wie groß ist die Amplitude?
> >
> > [mm]u_p \left(t=\frac{\pi}{4} \right) \; = \;\frac{1}{10}*cos\left( \frac{\pi}{4}\right)-\frac{1}{10}*sin\left(\frac{\pi}{4} \right) \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}[/mm]
> >
> >
> > Damit: [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}*cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)[/mm]
>
> >
> >
> > LG, Martinius
>
> diesen ansatz würde ich ja auch verwenden, da er das bsp
> einfacher macht, leider darf ich aber nur
> [mm]Up(t)=\alpha\cdot{}cos(t+\sigma)[/mm] als ansatz verwenden um
> das bsp zu lösen. deshalb muss ich ja [mm]\sigma[/mm] lösen.
>
Dieser Ansatz lässt sich auf obigen Ansatz zuürckführen mit
[mm]A=\alpha*\cos\left(\sigma\right), \ B=-\alpha*\sin\left(\sigma\right)[/mm]
> Liebe Grüße und danke, Meely
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 09.01.2012 | | Autor: | meely |
Hallo MathePower :)
> Hallo meely,
>
>
> Dieser Ansatz lässt sich auf obigen Ansatz zuürckführen
> mit
>
> [mm]A=\alpha*\cos\left(\sigma\right), \ B=-\alpha*\sin\left(\sigma\right)[/mm]
>
>
> > Liebe Grüße und danke, Meely
>
>
> Gruss
> MathePower
AH ! das ist des Rätsel's Lösung. Dann ist mir alles klar - danke :)
dann komme ich auch auf $ [mm] u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right) [/mm] $
Mein Professor hat uns die Lösung $ [mm] u_p \; [/mm] = [mm] \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{7\pi}{4} \right) [/mm] $ gegeben. Ist dies das selbe nur phasenverschoben ? Also um [mm] +6\pi/4 [/mm] ? oder hab ich da was falsch verstanden?
Dank und liebe Grüße, Meely :)
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Hallo meely,
> Hallo MathePower :)
>
> > Hallo meely,
> >
> >
> > Dieser Ansatz lässt sich auf obigen Ansatz zuürckführen
> > mit
> >
> > [mm]A=\alpha*\cos\left(\sigma\right), \ B=-\alpha*\sin\left(\sigma\right)[/mm]
>
> >
> >
> > > Liebe Grüße und danke, Meely
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> AH ! das ist des Rätsel's Lösung. Dann ist mir alles klar
> - danke :)
>
> dann komme ich auch auf [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)[/mm]
>
> Mein Professor hat uns die Lösung [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{7\pi}{4} \right)[/mm]
> gegeben. Ist dies das selbe nur phasenverschoben ? Also um
> [mm]+6\pi/4[/mm] ? oder hab ich da was falsch verstanden?
>
Nein, das ist nicht dasselbe.
Die Lösung von Dir:
[mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)=\[\frac{\mathrm{sin}\left( t\right) }{10}+\frac{\mathrm{cos}\left( t\right) }{10}\][/mm]
Die Lösung Deines Profs:
[mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{7\pi}{4} \right)=\[\frac{\mathrm{cos}\left( t\right) }{10}-\frac{\mathrm{sin}\left( t\right) }{10}\][/mm]
Diese Lösung ist keine partikuläre Lösung.
Wahrscheinlich meinte der Prof:
[mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t\blue{+}\frac{7\pi}{4} \right)[/mm]
> Dank und liebe Grüße, Meely :)
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 09.01.2012 | | Autor: | meely |
> > Mein Professor hat uns die Lösung [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{7\pi}{4} \right)[/mm]
> > gegeben. Ist dies das selbe nur phasenverschoben ? Also um
> > [mm]+6\pi/4[/mm] ? oder hab ich da was falsch verstanden?
> >
>
>
> Nein, das ist nicht dasselbe.
>
> Die Lösung von Dir:
>
> [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{\pi}{4} \right)=\[\frac{\mathrm{sin}\left( t\right) }{10}+\frac{\mathrm{cos}\left( t\right) }{10}\][/mm]
>
>
> Die Lösung Deines Profs:
>
> [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t-\frac{7\pi}{4} \right)=\[\frac{\mathrm{cos}\left( t\right) }{10}-\frac{\mathrm{sin}\left( t\right) }{10}\][/mm]
>
> Diese Lösung ist keine partikuläre Lösung.
>
> Wahrscheinlich meinte der Prof:
>
> [mm]u_p \; = \; \frac{\wurzel{2}}{10}\cdot{}cos \left(t\blue{+}\frac{7\pi}{4} \right)[/mm]
>
danke für deine antwort :)
hmm mag sein dass er sich da vertan hat.. aber wie kommt man dann trotzdem auf die [mm] 7\pi/4 [/mm] ?
> Gruss
> MathePower
Liebe Grüße :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Mo 09.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] cos(t+\phi)=cos(t+\phi\pm 2\pi)
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:50 Mo 09.01.2012 | | Autor: | meely |
also in dem fall wirklich um 2pi phasenverschoben :) okay danke :)
wart mir eine sehr große hilfe :) danke danke danke danke ...
liebe grüße meely
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