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Anfangswertproblem: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:10 Mi 16.11.2011
Autor: chesn

Aufgabe
Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:

1. $ y'(x)=-a*y(x)+b*sin(x), y(0)=0 $

2. $ [mm] y'(x)=xy(x)+3x^3*e^{-x^2/2}, y(0)=\pi [/mm] $

Hallo!

Bin an die 1. mittels Picard-Iteration rangegangen..

für die dritte Iteration erhalte ich damit:

[mm] y_3=a^2b*cos(x)+ab*sin(x)-b*cos(x)+\bruch{1}{2}a^2bx^2+abx-a^2b+b [/mm]

an der stelle weiss ich nicht so recht weiter was ich damit anfangen soll..
das ganze konvergiert ja gegen die Lösung, aber wie erhalte ich die jetzt explizit?

danke schonmal!

        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Mi 16.11.2011
Autor: fred97


> Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:
>  
> 1. [mm]y'(x)=-a*y(x)+b*sin(x), y(0)=0[/mm]
>  
> 2. [mm]y'(x)=xy(x)+3x^3*e^{-x^2/2}, y(0)=\pi[/mm]
>  Hallo!
>  
> Bin an die 1. mittels Picard-Iteration rangegangen.. #

Wozu denn das ?

[mm]y'(x)=-a*y(x)+b*sin(x)[/mm] ist eine einfache inhommogene lineare DGL.

Bestimme die allgemeine Lösung. Dann suchst Du Dir die Lösung mit y(0)=0 heraus

FRED

>
> für die dritte Iteration erhalte ich damit:
>  
> [mm]y_3=a^2b*cos(x)+ab*sin(x)-b*cos(x)+\bruch{1}{2}a^2bx^2+abx-a^2b+b[/mm]
>  
> an der stelle weiss ich nicht so recht weiter was ich damit
> anfangen soll..
> das ganze konvergiert ja gegen die Lösung, aber wie
> erhalte ich die jetzt explizit?
>  
> danke schonmal!


Bezug
                
Bezug
Anfangswertproblem: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Mi 16.11.2011
Autor: chesn

Danke erstmal.. habe ein paar Probleme mit der Bedingung y(0)=0
Ich schreibe dazu mal meinen Rechenweg auf...

Zuerst bestimme ich eine homogene Lösung:

$ y'=-ay $

[mm] \bruch{dy}{dx}=-ay [/mm]

[mm] \integral{\bruch{1}{y}dy}=\integral{-a dx} [/mm]

$ ln(y)=-ax+C $

$ [mm] y_h=exp(-ax+C)=exp(C)*exp(-ax) [/mm] $ ist also meine homogene Lösung.

Jetzt suche ich die partikuläre Lösung, dazu schreibe ich exp(C) als C(x):

[mm] y_p=C(x)*exp(-ax) [/mm] und setze [mm] y_p [/mm] in die inhomogene Gleichung ein:

$ (C(x)*exp(-ax))'+a*C(x)*exp(-ax)=b*sin(x) $

[mm] C'(x)=\bruch{b*sin(x)}{exp(-ax)} [/mm]

[mm] C(x)=\bruch{b*exp(ax)*(-cos(x)+a*sin(x))}{1+a^2} [/mm]

Also ist [mm] y_p=\bruch{b*exp(ax)*(-cos(x)+a*sin(x))}{1+a^2}*exp(-ax)=\bruch{b*(-cos(x)+a*sin(x))}{1+a^2} [/mm]

und

[mm] y_a=y_h+y_p=A*exp(-ax)+\bruch{b*(-cos(x)+a*sin(x))}{1+a^2} [/mm] mit A:=exp(C) ist die allgemeine Lösung.

zumdinest das dürfte soweit stimmen.. an welcher stelle sollte hier y(0)=0 einfließen? Oder muss ich die allgemeine Lösung jetzt so "umbasteln" damit ebendas erfüllt ist?

vielen dank schonmal!

Bezug
                        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mi 16.11.2011
Autor: fred97

bestimme A so , dass y(0)=0 ist

FRED

Bezug
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